Задание №21 — Модуль вектора магнитной индукции и его направление

Решение:

Обозначения. $I$ — сила тока в каждом проводнике; $a$ — сторона равностороннего треугольника; $r$ — расстояние от каждого проводника до точки O; $\mu_0$ — магнитная постоянная; $\vec{B}_1,\ \vec{B}_2,\ \vec{B}_3$ — индукции магнитных полей, создаваемых в точке O проводниками 1, 2 и 3; $\vec{B}$ — индукция результирующего поля в точке O до изменения тока, $\vec{B}'$ — после изменения.

Законы электродинамики, используемые в решении.

• Прямой длинный проводник с током создаёт на расстоянии $r$ магнитное поле с модулем индукции $B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$; линии индукции — концентрические окружности в плоскости, перпендикулярной проводнику, а их направление задаёт правило буравчика (правого винта). Значит, вектор индукции перпендикулярен отрезку, соединяющему проводник с рассматриваемой точкой.
• Принцип суперпозиции магнитных полей: $\vec{B}=\vec{B}_1+\vec{B}_2+\vec{B}_3$.

Исходная ситуация. Точка O — центр равностороннего треугольника, поэтому она равноудалена от всех вершин: $r=\dfrac{a}{2\sin 60^\circ}=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$. Токи одинаковы по модулю, следовательно, модули всех трёх векторов равны:

$$B_1=B_2=B_3=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}=\frac{\sqrt{3}\,\mu_0 I}{2\pi a}\equiv B_0 .$$

Каждый вектор перпендикулярен своему отрезку «проводник — точка O», причём все три повёрнуты относительно этих отрезков в одну и ту же сторону, так как токи сонаправлены. Отрезки, проведённые из O к вершинам, образуют друг с другом углы $120^\circ$, поэтому и векторы $\vec{B}_1,\ \vec{B}_2,\ \vec{B}_3$ равны по модулю и составляют друг с другом углы $120^\circ$. Сумма двух любых из них по правилу параллелограмма даёт вектор модуля $B_0$, направленный противоположно третьему, значит

$$\vec{B}=\vec{B}_1+\vec{B}_2+\vec{B}_3=\vec{0}.$$

Итак, в точке O магнитное поле отсутствует: его индукция равна нулю, и говорить о направлении вектора $\vec{B}$ в этом случае нельзя (модуль вектора равен нулю).

После изменения направления тока в проводнике 3. Поле проводника 3 в точке O меняется на противоположное: $\vec{B}_3'=-\vec{B}_3$, а поля проводников 1 и 2 остаются прежними. Тогда

$$\vec{B}'=\vec{B}_1+\vec{B}_2-\vec{B}_3=\left(\vec{B}_1+\vec{B}_2+\vec{B}_3\right)-2\vec{B}_3=-2\vec{B}_3 .$$

Поле в точке O становится отличным от нуля: оно направлено противоположно прежнему вектору $\vec{B}_3$ (то есть перпендикулярно отрезку, соединяющему проводник 3 с точкой O), а его модуль

$$B'=2B_0=\frac{\mu_0 I}{\pi r}=\frac{\sqrt{3}\,\mu_0 I}{\pi a}.$$

Как это выглядит на рисунке. Токи направлены за плоскость чертежа (кружки с крестиками), проводник 3 — нижняя вершина треугольника, точка O лежит над ним. По правилу буравчика линии поля тока, уходящего от наблюдателя, обходят проводник по часовой стрелке, поэтому в точке O вектор $\vec{B}_3$ горизонтален и направлен вправо. Следовательно, вектор $\vec{B}'$ горизонтален и направлен влево: он параллелен стороне треугольника, соединяющей два верхних проводника, и указывает в сторону левого верхнего проводника.

Ответ: при сонаправленных одинаковых токах индукция результирующего поля в центре треугольника равна нулю (три равных по модулю вектора, углы между которыми $120^\circ$, в сумме дают нуль), поэтому направления у неё нет. После изменения направления тока в проводнике 3 поле в точке O становится равным $\vec{B}'=-2\vec{B}_3$: его модуль $B'=\dfrac{\sqrt{3}\,\mu_0 I}{\pi a}$, а направлен он противоположно прежнему полю проводника 3, то есть перпендикулярно отрезку O3 — горизонтально, параллельно стороне, соединяющей два верхних проводника, в сторону левого верхнего проводника.