Задание №21 — Уравнение Менделеева-Клапейрона

Решение:

Обозначения. $p$ — давление газа; $\rho$ — его плотность; $V$ — объём; $T$ — абсолютная температура; $m$ — масса газа (по условию неизменна); $M$ — молярная масса газа; $R$ — универсальная газовая постоянная; индексы 1, 2, 3 относятся к состояниям 1, 2 и 3.

Законы. Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева—Клапейрона): $pV=\dfrac{m}{M}RT$. По определению плотности $\rho=\dfrac{m}{V}$, откуда

$$V=\frac{m}{\rho},\qquad p=\frac{\rho RT}{M},\qquad T=\frac{pM}{\rho R}.$$

Общее замечание. Масса газа постоянна, поэтому объём однозначно определяется плотностью: $V=\dfrac{m}{\rho}$ — объём обратно пропорционален плотности в любом процессе. По графику плотность газа монотонно убывает при переходе $1\to 2\to 3$, значит, газ на всём пути расширяется.

Процесс 1–2. Участок горизонтальный, то есть $p=\text{const}$ — процесс изобарный, а плотность убывает от $\rho_1$ до $\rho_2$. Тогда:

• объём $V=\dfrac{m}{\rho}$ увеличивается обратно пропорционально плотности — в $\dfrac{\rho_1}{\rho_2}$ раз;
• температура $T=\dfrac{pM}{\rho R}$ при $p=\text{const}$ также обратно пропорциональна плотности, то есть увеличивается — в те же $\dfrac{\rho_1}{\rho_2}$ раз (это согласуется с законом Гей-Люссака $\dfrac{V}{T}=\text{const}$).

Итак, на участке 1–2 газ изобарно расширяется и нагревается; и объём, и температура растут обратно пропорционально плотности.

Процесс 2–3. Это отрезок прямой, продолжение которого проходит через начало координат (показано пунктиром), то есть $p=k\rho$, где $k=\text{const}$, или $\dfrac{p}{\rho}=\text{const}$. Тогда

$$T=\frac{pM}{\rho R}=\frac{kM}{R}=\text{const},$$

то есть процесс изотермический: температура не зависит от плотности и остаётся неизменной, $T_3=T_2$. Объём же по-прежнему $V=\dfrac{m}{\rho}$: плотность убывает от $\rho_2$ до $\rho_3$, поэтому объём растёт обратно пропорционально плотности — в $\dfrac{\rho_2}{\rho_3}$ раз. Это согласуется с законом Бойля—Мариотта: $pV=\dfrac{m}{M}RT=\text{const}$, давление падает во столько же раз, во сколько растёт объём.

Ответ: в обоих процессах объём обратно пропорционален плотности, $V=\dfrac{m}{\rho}$, и при убывании плотности растёт. Температура ведёт себя по-разному: на участке 1–2 ($p=\text{const}$) она обратно пропорциональна плотности, $T=\dfrac{pM}{\rho R}$, и растёт вместе с объёмом; на участке 2–3 ($p$ прямо пропорционально $\rho$) температура от плотности не зависит и остаётся постоянной — газ расширяется изотермически.