Задание №21 — Самоиндукция. Энергия магнитного поля

Решение:

Обозначения. $I$ — сила тока в каждом проводнике; $a$ — расстояние между проводниками (в сечении, перпендикулярном проводникам, они образуют равносторонний треугольник со стороной $a$, см. рис. б); $\mu_0$ — магнитная постоянная; $\vec{B}_2$ и $\vec{B}_3$ — индукции магнитных полей, создаваемых проводниками 2 и 3 в области проводника 1; $\vec{B}$ — индукция результирующего поля там же; $l$ — длина рассматриваемого участка проводника 1; $\vec{F}$ — результирующая сила Ампера, действующая на этот участок.

Законы электродинамики, используемые в решении.

• Модуль индукции поля прямого длинного проводника с током на расстоянии $r$ от него: $B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$. Линии индукции — окружности, охватывающие проводник в перпендикулярной ему плоскости; их направление задаёт правило буравчика (правого винта).
• Принцип суперпозиции: $\vec{B}=\vec{B}_2+\vec{B}_3$.
• Сила Ампера: $F=BIl\sin\alpha$, где $\alpha$ — угол между током и $\vec{B}$; направление силы даёт правило левой руки. Здесь $\alpha=90^\circ$, так как $\vec{B}$ лежит в плоскости сечения, перпендикулярной проводникам.

Рисунок (описание построения). Работаем с сечением (рис. б): проводник 1 — верхняя вершина, проводник 2 — правая нижняя, проводник 3 — левая нижняя вершина равностороннего треугольника со стороной $a$; токи направлены из плоскости чертежа на наблюдателя (точки в кружках). В точке, где расположен проводник 1, строим:

• вектор $\vec{B}_2$ — перпендикулярно отрезку 2–1; по правилу буравчика для тока «на наблюдателя» линии поля обходят проводник 2 против часовой стрелки, поэтому $\vec{B}_2$ повёрнут относительно направления «от 2 к 1» на $90^\circ$ против часовой стрелки и направлен влево-вниз (под углом $30^\circ$ к горизонтали, ниже неё); $B_2=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi a}$;
• вектор $\vec{B}_3$ — перпендикулярно отрезку 3–1, аналогично повёрнутый против часовой стрелки, то есть направленный влево-вверх (под углом $30^\circ$ к горизонтали, выше неё); $B_3=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi a}$;
• вектор $\vec{B}=\vec{B}_2+\vec{B}_3$ по правилу параллелограмма: вертикальные составляющие $\vec{B}_2$ и $\vec{B}_3$ равны по модулю и противоположны — они компенсируются, а горизонтальные складываются. Поэтому $\vec{B}$ направлен горизонтально, параллельно стороне 2–3, от проводника 2 к проводнику 3, и $B=2\cdot\dfrac{\mu_0 I}{2\pi a}\cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}\,\mu_0 I}{2\pi a}$;
• вектор силы $\vec{F}$: ток в проводнике 1 направлен на наблюдателя, $\vec{B}$ — горизонтально в сторону проводника 3; по правилу левой руки сила направлена вертикально вниз — от проводника 1 к середине отрезка 2–3, то есть внутрь треугольника, к его центру.

Модуль силы: $F=BIl=\dfrac{\sqrt{3}\,\mu_0 I^2 l}{2\pi a}$, то есть на единицу длины $\dfrac{F}{l}=\dfrac{\sqrt{3}\,\mu_0 I^2}{2\pi a}$.

Проверка результата другим способом. Параллельные токи одного направления притягиваются. Значит, со стороны проводника 2 на проводник 1 действует сила, направленная от 1 к 2, а со стороны проводника 3 — сила, направленная от 1 к 3; модули их одинаковы: $F_0=\dfrac{\mu_0 I^2 l}{2\pi a}$. Угол между этими силами равен углу при вершине 1 равностороннего треугольника, то есть $60^\circ$, поэтому равнодействующая идёт по биссектрисе — от проводника 1 к середине стороны 2–3 — и равна $F=2F_0\cos 30^\circ=\sqrt{3}F_0=\dfrac{\sqrt{3}\,\mu_0 I^2 l}{2\pi a}$. Результат совпадает с полученным через силу Ампера.

Ответ: результирующая сила лежит в плоскости, перпендикулярной проводникам, и направлена от проводника 1 к середине отрезка, соединяющего проводники 2 и 3 (к центру треугольника): проводник 1 притягивается к обоим проводникам с сонаправленными токами. Её модуль $F=\dfrac{\sqrt{3}\,\mu_0 I^2 l}{2\pi a}$. Индукция результирующего магнитного поля в области проводника 1 при этом направлена параллельно отрезку 2–3 (от проводника 2 к проводнику 3) и равна $B=\dfrac{\sqrt{3}\,\mu_0 I}{2\pi a}$.