Задание №23 — Работа в термодинамике

Решение:

Обозначения. Согласно рисунку состоянию 1 отвечают давление $p_1 = 450\ \text{кПа} = 4{,}5 \cdot 10^{5}\ \text{Па}$ и объём $V_1 = 30\ \text{л} = 3 \cdot 10^{-2}\ \text{м}^3$, а состоянию 2 — объём $V_2 = 10\ \text{л} = 10^{-2}\ \text{м}^3$ и давление $p_2$; $A_\text{г}$ — работа газа, $A_\text{вн}$ — искомая работа внешних сил над газом.

Используемые законы. На рисунке процесс — отрезок прямой, продолжение которого (штриховая линия) проходит через начало координат, то есть давление прямо пропорционально объёму:

$$\frac{p_1}{V_1} = \frac{p_2}{V_2} \quad \Rightarrow \quad p_2 = p_1\,\frac{V_2}{V_1}.$$

Работа газа численно равна площади под графиком в координатах $p$–$V$, взятой со знаком «плюс» при расширении и со знаком «минус» при сжатии:

$$A_\text{г} = \frac{p_1 + p_2}{2}\,(V_2 - V_1).$$

Работа внешних сил над газом равна работе газа, взятой с противоположным знаком (силы давления газа на поршень и поршня на газ равны по модулю и противоположны по направлению):

$$A_\text{вн} = -A_\text{г}.$$

Преобразования.

$$A_\text{вн} = \frac{p_1 + p_2}{2}\,(V_1 - V_2) = \frac{p_1}{2}\left(1 + \frac{V_2}{V_1}\right)(V_1 - V_2) = \frac{p_1\,(V_1^2 - V_2^2)}{2V_1}.$$

Расчёт. $p_2 = 450\ \text{кПа} \cdot \dfrac{10}{30} = 150\ \text{кПа}$, тогда

$$A_\text{вн} = \frac{(4{,}5 \cdot 10^{5} + 1{,}5 \cdot 10^{5})\ \text{Па}}{2} \cdot (3 \cdot 10^{-2} - 10^{-2})\ \text{м}^3 = 3 \cdot 10^{5} \cdot 2 \cdot 10^{-2} = 6 \cdot 10^{3}\ \text{Дж} = 6\ \text{кДж}.$$

Проверка. Объём газа уменьшается, газ сжимают, поэтому работа газа отрицательна $(A_\text{г} = -6\ \text{кДж})$, а работа внешних сил положительна — знак ответа согласован с характером процесса.

Ответ: $A_\text{вн} = 6$ кДж $(6000\ \text{Дж})$.