Задание №23 — Работа в термодинамике

Решение:

Обозначения. $p_1 = 100\ \text{кПа} = 10^{5}\ \text{Па}$ — минимальное давление газа (состояние 1), $V_1 = 10\ \text{л} = 10^{-2}\ \text{м}^3$ — минимальный объём, $V_2 = 30\ \text{л} = 3 \cdot 10^{-2}\ \text{м}^3$ — максимальный объём (состояние 2), $p_2$ — давление в состоянии 2, $A$ — работа, совершаемая газом при переходе $1 \to 2$.

Используемые законы. Из рисунка видно, что процесс изображается отрезком прямой, продолжение которого (штриховая линия) проходит через начало координат. Значит, давление прямо пропорционально объёму:

$$p = \alpha V,\qquad \alpha = \frac{p_1}{V_1} = \text{const} \quad \Rightarrow \quad \frac{p_1}{V_1} = \frac{p_2}{V_2}.$$

Работа газа численно равна площади фигуры под графиком процесса в координатах $p$–$V$. Здесь эта фигура — прямоугольная трапеция с основаниями $p_1$ и $p_2$ и высотой $V_2 - V_1$:

$$A = \frac{p_1 + p_2}{2}\,(V_2 - V_1).$$

Преобразования. Из пропорциональности $p_2 = p_1\dfrac{V_2}{V_1}$, поэтому

$$A = \frac{p_1}{2}\left(1 + \frac{V_2}{V_1}\right)(V_2 - V_1) = \frac{p_1\,(V_2^2 - V_1^2)}{2V_1}.$$

Расчёт. $p_2 = 100\ \text{кПа} \cdot \dfrac{30}{10} = 300\ \text{кПа}$, тогда

$$A = \frac{(10^{5} + 3 \cdot 10^{5})\ \text{Па}}{2} \cdot (3 \cdot 10^{-2} - 10^{-2})\ \text{м}^3 = 2 \cdot 10^{5} \cdot 2 \cdot 10^{-2} = 4 \cdot 10^{3}\ \text{Дж} = 4\ \text{кДж}.$$

Проверка. Газ расширяется, поэтому работа газа положительна, что и получено. Тот же результат даёт вторая формула: $A = \dfrac{10^{5} \cdot (9 \cdot 10^{-4} - 10^{-4})}{2 \cdot 10^{-2}} = 4 \cdot 10^{3}\ \text{Дж}$.

Ответ: $A = 4$ кДж $(4000\ \text{Дж})$.