Задание №23 — Количество теплоты. Фазовые переходы

Решение:

Обозначения. $m_\text{л} = 400\ \text{г} = 0{,}4\ \text{кг}$ — начальная масса льда, $t_\text{л} = 0\ ^\circ\text{C}$ — его начальная температура, $m_\text{в} = 220\ \text{г} = 0{,}22\ \text{кг}$ — масса воды, $t_\text{в} = 50\ ^\circ\text{C}$ — её начальная температура, $c_\text{в} = 4200\ \text{Дж/(кг} \cdot {}^\circ\text{C)}$ — удельная теплоёмкость воды, $\lambda = 3{,}3 \cdot 10^{5}\ \text{Дж/кг}$ — удельная теплота плавления льда, $\Delta m$ — масса растаявшего льда, $m'$ — искомая масса льда после установления теплового равновесия.

Используемые законы. Термос теплоизолирован, его теплоёмкостью пренебрегаем, поэтому выполняется уравнение теплового баланса: количество теплоты, отданное водой, равно количеству теплоты, полученному льдом,

$$Q_\text{отд} = Q_\text{пол}.$$

По условию в равновесии в термосе остался лёд, значит, конечная температура смеси $t = 0\ ^\circ\text{C}$ (пока лёд и вода сосуществуют, температура смеси равна температуре плавления льда). Следовательно, вода только остывает от $t_\text{в}$ до $0\ ^\circ\text{C}$, отдавая

$$Q_\text{отд} = c_\text{в}\,m_\text{в}\,(t_\text{в} - 0),$$

а лёд, уже находящийся при температуре плавления, эту теплоту тратит только на плавление части своей массы:

$$Q_\text{пол} = \lambda\,\Delta m.$$

Преобразования. Из уравнения теплового баланса

$$c_\text{в}\,m_\text{в}\,t_\text{в} = \lambda\,\Delta m \quad \Rightarrow \quad \Delta m = \frac{c_\text{в}\,m_\text{в}\,t_\text{в}}{\lambda},\qquad m' = m_\text{л} - \Delta m = m_\text{л} - \frac{c_\text{в}\,m_\text{в}\,t_\text{в}}{\lambda}.$$

Расчёт.

$$\Delta m = \frac{4200 \cdot 0{,}22 \cdot 50}{3{,}3 \cdot 10^{5}} = \frac{46\,200}{330\,000} = 0{,}14\ \text{кг} = 140\ \text{г},$$

$$m' = 0{,}4 - 0{,}14 = 0{,}26\ \text{кг} = 260\ \text{г}.$$

Проверка. $\Delta m = 140\ \text{г} \lt m_\text{л} = 400\ \text{г}$ — растаял действительно лишь кусок льда, так что предположение о конечной температуре $0\ ^\circ\text{C}$ согласовано с ответом.

Ответ: $m' = 260$ г $(0{,}26\ \text{кг})$.