Задание №23 — Световые кванты (фотоны)

Решение:

Обозначения. $N = 10^{19}$ — число световых квантов, излучённых за импульс, $P = 1100\ \text{Вт}$ — средняя мощность импульса, $t = 3 \cdot 10^{-3}\ \text{с}$ — длительность вспышки, $\lambda$ — искомая длина волны, $\varepsilon$ — энергия одного кванта, $W$ — энергия импульса, $h = 6{,}6 \cdot 10^{-34}\ \text{Дж} \cdot \text{с}$ — постоянная Планка, $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{м/с}$ — скорость света в вакууме.

Используемые законы. Энергия, излучённая за импульс, по определению средней мощности равна

$$W = P\,t.$$

Эта энергия складывается из энергий отдельных квантов, каждый из которых по формуле Планка несёт энергию

$$\varepsilon = h\nu = \frac{h\,c}{\lambda},\qquad W = N\varepsilon = \frac{N\,h\,c}{\lambda}.$$

Преобразования. Приравнивая два выражения для $W$:

$$\frac{N\,h\,c}{\lambda} = P\,t \quad \Rightarrow \quad \lambda = \frac{N\,h\,c}{P\,t}.$$

Расчёт.

$$\lambda = \frac{10^{19} \cdot 6{,}6 \cdot 10^{-34}\ \text{Дж} \cdot \text{с} \cdot 3 \cdot 10^{8}\ \text{м/с}}{1100\ \text{Вт} \cdot 3 \cdot 10^{-3}\ \text{с}} = \frac{1{,}98 \cdot 10^{-6}}{3{,}3} \approx 6 \cdot 10^{-7}\ \text{м} = 0{,}6\ \text{мкм}.$$

Проверка. Полученное значение попадает в диапазон видимого света (оранжево-красная область), что для лазерного излучения вполне разумно; энергия одного кванта $\varepsilon = W/N = 3{,}3\ \text{Дж} / 10^{19} = 3{,}3 \cdot 10^{-19}\ \text{Дж} \approx 2{,}1\ \text{эВ}$ — типичная энергия фотона видимого диапазона.

Ответ: $\lambda \approx 0{,}6$ мкм.