Задание №26 — Закон сохранения импульса системы тел

#68371Задание №26ФИПИ

Закон изменения и сохранения импульса. Реактивное движениеЗакон изменения и сохранения механической энергии

Два шарика подвешены на вертикальных тонких нитях так, что они находятся на одной высоте. Между шариками находится сжатая и связанная нитью лёгкая пружина. При пережигании связывающей нити пружина распрямляется, расталкивает шарики и падает вниз. В результате нити отклоняются в разные стороны на одинаковые углы. Определите отношение масс шариков $\frac{m_{2}}{m_{1}} ,$ если левая нить в 2 раза длиннее правой. Считать величину сжатия пружины во много раз меньше длин нитей. Обоснуйте применимость законов, используемых при решении задач.

Ваше решениедо 4 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение:

Обоснование применимости законов. Шарики малы по сравнению с длинами нитей, поэтому считаем их материальными точками, а нити — лёгкими и нерастяжимыми, так что после расталкивания каждый шарик движется по дуге окружности радиуса, равного длине своей нити. Систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной, поле тяжести — однородным. Величина сжатия пружины во много раз меньше длин нитей, поэтому расталкивание происходит практически мгновенно и на пренебрежимо малом смещении: за это время нити не успевают заметно отклониться от вертикали, а значит силы натяжения нитей вертикальны и, как и силы тяжести, не имеют горизонтальных составляющих. Следовательно, горизонтальная проекция импульса системы «два шарика + пружина» сохраняется; до пережигания нити она была равна нулю, значит равна нулю и сразу после расталкивания. Пружина лёгкая и падает вниз, поэтому импульса в горизонтальном направлении она не уносит. После расталкивания на каждый шарик действуют только сила тяжести (консервативная сила) и сила натяжения нити, которая всё время перпендикулярна скорости и работы не совершает; сопротивление воздуха не учитываем. Поэтому для каждого шарика на участке подъёма выполняется закон сохранения механической энергии.

Обозначения. $m_1$ и $m_2$ — массы левого и правого шариков; $L_1$ и $L_2$ — длины левой и правой нитей, по условию $L_1=2L_2$ ; $v_1$ и $v_2$ — модули скоростей шариков сразу после расталкивания; $\alpha$ — одинаковый угол максимального отклонения нитей от вертикали; $h_1$ и $h_2$ — высоты подъёма шариков; $g$ — ускорение свободного падения.

1. Закон сохранения импульса. Суммарный импульс системы до расталкивания равен нулю, шарики разлетаются в противоположные стороны, поэтому в проекции на горизонтальную ось $m_1v_1=m_2v_2$ , откуда

$\frac{m_2}{m_1}=\frac{v_1}{v_2}.$

2. Высота подъёма. При отклонении нити длиной $L$ на угол $\alpha$ шарик поднимается на высоту

$h=L-L\cos\alpha=L(1-\cos\alpha).$

3. Закон сохранения механической энергии для каждого шарика (нулевой уровень — начальное положение):

$\frac{m_iv_i^{2}}{2}=m_igh_i=m_igL_i(1-\cos\alpha)\ \Rightarrow\ v_i=\sqrt{2gL_i(1-\cos\alpha)},\quad i=1,2.$

Углы отклонения одинаковы, поэтому

$\frac{v_1}{v_2}=\sqrt{\frac{L_1}{L_2}}.$

4. Ответ в общем виде и расчёт. Объединяя с законом сохранения импульса и подставляя $L_1=2L_2$ :

$\frac{m_2}{m_1}=\sqrt{\frac{L_1}{L_2}}=\sqrt{2}\approx 1{,}4.$

Результат разумен: шарик на более длинной (левой) нити получает бо́льшую скорость, поэтому его масса меньше.

Ответ: $\dfrac{m_2}{m_1}=\sqrt{2}\approx 1{,}4$ .