Задание №26 — Закон сохранения импульса системы тел

Решение:

Обоснование применимости законов. Шарики малы по сравнению с длинами нитей, поэтому считаем их материальными точками, а нити — лёгкими и нерастяжимыми, так что после расталкивания каждый шарик движется по дуге окружности радиуса, равного длине своей нити. Систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной, поле тяжести — однородным. Величина сжатия пружины во много раз меньше длин нитей, поэтому расталкивание происходит практически мгновенно и на пренебрежимо малом смещении: за это время нити не успевают заметно отклониться от вертикали, а значит силы натяжения нитей вертикальны и, как и силы тяжести, не имеют горизонтальных составляющих. Следовательно, горизонтальная проекция импульса системы «два шарика + пружина» сохраняется; до пережигания нити она была равна нулю, значит равна нулю и сразу после расталкивания. Пружина лёгкая и падает вниз, поэтому импульса в горизонтальном направлении она не уносит. После расталкивания на каждый шарик действуют только сила тяжести (консервативная сила) и сила натяжения нити, которая всё время перпендикулярна скорости и работы не совершает; сопротивление воздуха не учитываем. Поэтому для каждого шарика на участке подъёма выполняется закон сохранения механической энергии.

Обозначения. $m_1$ и $m_2$ — массы левого и правого шариков; $L_1$ и $L_2$ — длины левой и правой нитей, по условию $L_1=2L_2$; $v_1$ и $v_2$ — модули скоростей шариков сразу после расталкивания; $\alpha$ — одинаковый угол максимального отклонения нитей от вертикали; $h_1$ и $h_2$ — высоты подъёма шариков; $g$ — ускорение свободного падения.

1. Закон сохранения импульса. Суммарный импульс системы до расталкивания равен нулю, шарики разлетаются в противоположные стороны, поэтому в проекции на горизонтальную ось $m_1v_1=m_2v_2$, откуда

$$\frac{m_2}{m_1}=\frac{v_1}{v_2}.$$

2. Высота подъёма. При отклонении нити длиной $L$ на угол $\alpha$ шарик поднимается на высоту

$$h=L-L\cos\alpha=L(1-\cos\alpha).$$

3. Закон сохранения механической энергии для каждого шарика (нулевой уровень — начальное положение):

$$\frac{m_iv_i^{2}}{2}=m_igh_i=m_igL_i(1-\cos\alpha)\ \Rightarrow\ v_i=\sqrt{2gL_i(1-\cos\alpha)},\quad i=1,2.$$

Углы отклонения одинаковы, поэтому

$$\frac{v_1}{v_2}=\sqrt{\frac{L_1}{L_2}}.$$

4. Ответ в общем виде и расчёт. Объединяя с законом сохранения импульса и подставляя $L_1=2L_2$:

$$\frac{m_2}{m_1}=\sqrt{\frac{L_1}{L_2}}=\sqrt{2}\approx 1{,}4.$$

Результат разумен: шарик на более длинной (левой) нити получает бо́льшую скорость, поэтому его масса меньше.

Ответ: $\dfrac{m_2}{m_1}=\sqrt{2}\approx 1{,}4$.