Задание №26 — Условия равновесия тела

Дано: m₁ = 0,2 кг; m₂ = 0,3 кг; l = 0,6 м; AC = 0,2 м; N₂ = 2N₁

Найти: L - ?

Решение:
1) Рассмотрим систему, состоящую из стержня и двух закрепленных на нем шаров. На неё воздействуют силы тяжести $m_{1} \overset{\rightarrow}{g}$ и $m_{2} \overset{\rightarrow}{g} ,$, приложенные к центрам масс шаров, а также нормальные реакции опор $\left(\overset{\rightarrow}{N}\right)_{1}$ и $\left(\overset{\rightarrow}{N}\right)_{2} .$. Согласно третьему закону Ньютона, величины сил реакции численно совпадают с силами давления на опоры, следовательно, выполняется соотношение $N_{2} = 2 N_{1}$ (согласно условию).

2) Запишем условия, при которых данная система находится в равновесии:
$N_{1} + N_{2} - m_{1} g - m_{2} g = 0 ( 1 )$
$3 N_{1} = g \left(m_{1} + m_{2}\right) ( 2 )$

Используем правило моментов сил относительно выбранной оси:
$M_{1} + M_{2} + M_{3} = 0 ( 3 )$
$M_{1} = N_{1} x ( 4 ) ,$ в данном случае плечо x = AC = 0,2 м.
$M_{2} = N_{2} \left(x + l\right) = 3 N_{1} \left(x + l\right) ( 5 )$
$M_{3} = - m_{2} gL ( 6 )$

Объединим выражения (4), (5) и (6):
$N_{1} x + 2 N_{1} \left(x + l\right) - m_{2} gL = 0 ( 7 )$
$N_{1} \left(4 x + 3 l\right) = m_{2} gL ( 8 )$

Составим и решим систему уравнений на основе (2) и (7):
$\left\{\begin{matrix} 3 N_{1} = g \left(m_{1} + m_{2}\right) ( 8 ) \\ N_{1} \left(3 x + 2 l\right) = m_{2} gL ( 9 ) \end{matrix}\right.$

Разделив одно уравнение системы на другое, находим:
$\frac{3 N_{1}}{N_{1} \left(3 x + 2 l\right)} = \frac{g \left(m_{1} + m_{2}\right)}{m_{2} gL} ( 10 )$
$x + \frac{2 l}{3} = \frac{m_{2} L}{m_{1} + m_{2}} ( 11 )$
$L = \frac{\left(3 x + 2 l\right) \left(m_{1} + m_{2}\right)}{3 m_{2}} ( 12 )$
$L = \frac{3 xm_{1} + 3 xm_{2} + 2 lm_{1} + 2 lm_{2}}{3 m_{2}} ( 13 )$
$L = x \left(\frac{m_{1}}{m_{2}} + 1\right) + \frac{2 l}{3} \left(\frac{m_{1}}{m_{2}} + 1\right) ( 14 )$
$L = \left(x + \frac{2 l}{3}\right) \left(\frac{m_{1}}{m_{2}} + 1\right) ( 15 )$
$L = \left(0{,}2 + \frac{2 \cdot 0{,}6}{3}\right) \cdot \left(\frac{0{,}2}{0{,}3} + 1\right)$
$L = 1 м$

Ответ: L = 1 м

Источник: ФИПИ