Задание №24 — Первое начало термодинамики

Дано: V = 1 м³; ν₁ = 1 моль; Т₁ = 400 К; v₂ = 3 моль; p = 5,4 кПа = $5{,}4 \cdot 10^{3}$ Па 

Найти: T₂ - ?

Решение:
1) Так как сосуд имеет теплоизоляцию и работа газом не производится, на основании первого начала термодинамики можно утверждать, что общая внутренняя энергия системы остается неизменной:
$U = U_{1} + U_{2} ( 1 )$
$U = \frac{3 \left(v_{1} + v_{2}\right) RT}{2} ( 2 )$
Здесь T обозначает установившуюся температуру смеси газов после того, как кран был открыт.
$U_{1} = \frac{3 v_{1} RT_{1}}{2} ( 3 )$
$U_{2} = \frac{3 v_{2} RT_{2}}{2} ( 4 )$

Объединим выражения (2), (3) и (4) с уравнением (1):

$\frac{3 \left(v_{1} + v_{2}\right) RT}{2} = \frac{3 v_{1} RT_{1}}{2} + \frac{3 v_{2} RT_{2}}{2} ( 5 )$
$\left(v_{1} + v_{2}\right) RT = v_{1} RT_{1} + v_{2} RT_{2} ( 6 )$
$T_{2} = \frac{\left(v_{1} + v_{2}\right) RT - v_{1} RT_{1}}{v_{2} R} ( 7 )$

2) Воспользуемся уравнением состояния идеального газа (Менделеева-Клапейрона) для системы в установившемся равновесии:
$2 pV = \left(v_{1} + v_{2}\right) RT ( 8 )$

Выразим искомую величину, подставив (8) в формулу (7):
$T_{2} = \frac{2 pV - v_{1} RT_{1}}{v_{2} R} ( 9 )$
$T_{2} = \frac{2 pV}{v_{2} R} - \frac{v_{1} T_{1}}{v_{2}} ( 10 )$
$T_{2} = \frac{2 \cdot 5{,}4 \cdot 10^{3} \cdot 1}{3 \cdot 8{,}31} - \frac{1 \cdot 400}{3} \approx 300 К$

Ответ: 300 

Источник: ФИПИ