Задание №24 — Уравнение Менделеева-Клапейрона

Дано: T₀ = 300 К; L = 50 см = 0,5 м; h = 40 см = 0,4 м; H = 46 см = 0,46 м

Найти: T₁ - ?

Решение:
1) Воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона, чтобы соотнести характеристики азота в исходном состоянии и при искомой температуре T₁:
$\frac{p_{1} hS}{T_{1}} = \frac{p_{0} LS}{T_{0}} ( 1 )$
В данном выражении p₀ обозначает давление газа в камере, p₁ — давление внутри сосуда для случая, показанного на чертеже, а S — площадь поперечного сечения сосуда.
$p_{1} = \frac{T_{1} p_{0} LS}{T_{0} hS} = \frac{T_{1} p_{0} L}{T_{0} h} ( 2 )$

Запишем условие механического равновесия пробки при температуре T₁:
$p_{0} S - F_{тр} - p_{1} S = 0 ( 3 )$
$F_{тр} = S \left(p_{0} - p_{1}\right) ( 4 )$

2) Аналогично, применяя уравнение состояния идеального газа, свяжем параметры азота в начальный момент и в финальном состоянии при температуре T₀:
$\frac{p_{2} HS}{T_{0}} = \frac{p_{0} LS}{T_{0}} ( 5 )$
Здесь p₂ соответствует давлению газа в сосуде в конце эксперимента.
$p_{2} = \frac{T_{0} p_{0} LS}{T_{0} HS} = \frac{p_{0} L}{H} ( 6 )$

Сформулируем условие равновесия для пробки в заключительной стадии опыта:
$p_{2} S - F_{тр} - p_{0} S = 0 ( 7 )$
$p_{2} = \frac{F_{тр} + p_{0} S}{S} ( 8 )$

Выполним подстановку выражения (4) в формулу (8):
$p_{2} = \frac{S \left(p_{0} - p_{1}\right) + p_{0} S}{S} ( 9 )$
$p_{2} = 2 p_{0} - p_{1 } ( 10 )$

Теперь объединим результаты, подставив (6) в уравнение (10):
$\frac{p_{0} L}{H} = 2 p_{0} - p_{1 } ( 11 )$

Используя соотношение (2), преобразуем выражение (11):
$\frac{p_{0} L}{H} = 2 p_{0} - \frac{T_{1} p_{0} L}{T_{0} h} ( 12 )$
$\frac{T_{1} p_{0} L}{T_{0} h} = 2 p_{0} - \frac{p_{0} L}{H} ( 13 )$
$T_{1} = \frac{T_{0} h}{L} \left(2 - \frac{L}{H}\right) ( 14 )$
$T_{1} = \frac{300 \cdot 0{,}4}{0{,}5} \cdot \left(2 - \frac{0{,}5}{0{,}46}\right) \approx 219 К$

Ответ: 219 К

Источник: ФИПИ