Задание №26 — Условия равновесия тела

#68737Задание №26ФИПИ

Условия равновесия твёрдого тела в ИСО

Маленькие шарики, имеющие массы M и m = 60 г, соединены друг с другом стержнем пренебрежимо малой массы. Полученная гантель помещена в неподвижную сферическую выемку радиусом R так, что шарик M находится в нижней точке выемки, а шарик m касается стенки выемки на высоте R от этой точки (см. рис.). Коэффициент трения между шариком M и дном выемки μ = 0,3, трение между шариком m и стенкой выемки отсутствует. При каких значениях M гантель покоится в показанном на рисунке положении?
Сделайте рисунок с указанием внешних сил, действующих на гантель. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.

Ваше решениедо 4 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Дано: m = 60 г; $\mu$ = 0,3

Найти: M - ?

Обоснование:
1) Анализ физической ситуации проводится в системе отсчёта, неподвижной относительно Земли. Данную систему будем считать инерциальной (ИСО).
2) Гантель в рамках задачи рассматривается как абсолютно твёрдое тело (его геометрические параметры постоянны, а деформации отсутствуют).
3) Движение твёрдого тела можно представить как сочетание перемещения центра масс и вращения. Следовательно, для обеспечения покоя тела в ИСО необходимо выполнение двух условий равновесия.
4) Векторная сумма всех внешних сил, действующих на тело, должна быть равна нулю (условие отсутствия поступательного ускорения). При соблюдении этого условия суммарный момент сил не зависит от выбора оси вращения. Для упрощения расчётов выберем ось, проходящую через центр сферической поверхности перпендикулярно плоскости чертежа.
5) Поскольку трение между малым шариком m и поверхностью выемки не учитывается, сила нормальной реакции N₂ со стороны стенки направлена строго по радиусу к центру сферы.

Решение:

Запишем второй закон Ньютона для системы в проекции на вертикальное направление:
$N_{2} - Mg - mg = 0 ( 1 )$

Для горизонтального направления уравнение примет вид:
$F_{тр} - N_{1} = 0 ( 2 )$

Сформулируем правило моментов относительно оси, проходящей через центр сферы перпендикулярно плоскости рисунка:
$F_{тр} R - mgR = 0 ( 3 )$
$F_{тр} \leq \mu N_{2} ( 4 )$

Скомбинируем выражения (1) и (3) для решения системы:

$\left\{\begin{matrix} N_{2} - Mg - mg = 0 ( 5 ) \\ F_{тр} R - mgR = 0 ( 6 ) \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} N_{2} = Mg + mg ( 7 ) \\ F_{тр} R = mgR ( 8 ) \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} N_{2} = g \left(M + m\right) ( 9 ) \\ F_{тр} = mg ( 10 ) \end{matrix}\right.$

Используя полученные зависимости (9) и (10), преобразуем уравнение (4):
$mg \leq \mu g \left(M + m\right) ( 11 )$
$m \leq \mu M + \mu m ( 12 )$
$m - \mu m \leq \mu M ( 13 )$
$M \geq \frac{m \left(1 - \mu\right)}{\mu} ( 14 )$
$M \geq \frac{60 \cdot \left(1 - 0{,}3\right)}{0{,}3} ( 15 )$
$M \geq 140 г$

Ответ: $M \geq 140 г$

Источник: ФИПИ