Задание №26 — Условия равновесия тела

Решение:

Обоснование применимости законов. Шар и жидкость покоятся, поэтому в инерциальной системе отсчёта, связанной с сосудом и Землёй, применимо условие равновесия материальной точки: векторная сумма всех сил, действующих на шар, равна нулю. Шар целиком погружён в покоящуюся однородную жидкость, поэтому со стороны жидкости на него действует выталкивающая сила, определяемая законом Архимеда: $F_A=\rho_0 g V$, где $V$ — объём шара. Шар считаем сплошным и однородным, поэтому его объём $V=\dfrac{m}{\rho}$, где $\rho$ — плотность железа. Трением шара о стенку пренебрегаем, поэтому сила реакции стенки перпендикулярна её поверхности, то есть горизонтальна. Нить лёгкая и нерастяжимая, поэтому сила натяжения направлена вдоль нити и одинакова по всей её длине. По третьему закону Ньютона шар действует на нить с силой, равной по модулю силе натяжения $T$ и противоположно направленной, — именно эту величину и требуется найти. Поле тяжести считаем однородным.

Рисунок (силы, действующие на шар). К шару приложены четыре силы: сила тяжести $m\vec g$ — вертикально вниз, приложена к центру шара; архимедова (выталкивающая) сила $\vec F_A$ — вертикально вверх, приложена к центру шара; сила натяжения нити $\vec T$ — вдоль нити от шара к точке её закрепления, то есть вверх и в сторону стенки (влево), под углом $\alpha=30^{\circ}$ к вертикали; сила нормальной реакции стенки $\vec N$ — горизонтально, от стенки внутрь сосуда (вправо), приложена в точке касания шара со стенкой.

Обозначения. $m=2{,}5\ \text{кг}$ — масса шара; $\rho=7800\ \text{кг/м}^3$ — плотность железа; $\rho_0=1000\ \text{кг/м}^3$ — плотность воды; $V$ — объём шара; $F_A$ — архимедова сила; $T$ — сила натяжения нити; $N$ — сила нормальной реакции стенки; $\alpha=30^{\circ}$ — угол между нитью и вертикалью; $g=10\ \text{м/с}^2$.

1. Условия равновесия. Направим ось $Oy$ вертикально вверх, ось $Ox$ — горизонтально от стенки. Условие $m\vec g+\vec F_A+\vec T+\vec N=0$ в проекциях даёт:

$$Oy:\quad T\cos\alpha+F_A-mg=0,\qquad Ox:\quad N-T\sin\alpha=0.$$

2. Архимедова сила. По закону Архимеда с учётом $V=\dfrac{m}{\rho}$:

$$F_A=\rho_0 gV=\frac{\rho_0}{\rho}mg=\frac{1000}{7800}\cdot 2{,}5\cdot 10\approx 3{,}2\ \text{Н}.$$

3. Сила натяжения. Из уравнения для оси $Oy$:

$$T=\frac{mg-F_A}{\cos\alpha}=\frac{mg\left(1-\dfrac{\rho_0}{\rho}\right)}{\cos\alpha}.$$

Подстановка числовых значений ($mg=2{,}5\cdot 10=25\ \text{Н}$, $\cos 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt3}{2}\approx 0{,}87$):

$$T=\frac{25-3{,}2}{0{,}87}\approx 25\ \text{Н}.$$

По третьему закону Ньютона шар действует на нить с силой, равной по модулю $T\approx 25\ \text{Н}$ и направленной вдоль нити от точки подвеса к шару.

Ответ: шар действует на нить с силой $\approx 25\ \text{Н}$.