Задание №26 — Условия равновесия тела

Дано: $m = 3 кг ; \angle \alpha = 30^{\circ} ;$ $\rho = 2700 кг / м^{3} ; \rho_{0} = 1000 кг / м^{3}$

Найти: P - ?

Обоснование:
1) Выберем систему отсчёта, неподвижную относительно Земли, и будем считать её инерциальной (ИСО).
2) Применим к шару модель абсолютно твёрдого тела, подразумевающую неизменность его геометрических параметров и расстояний между его точками.
3) Состояние равновесия твёрдого тела в ИСО требует одновременного выполнения двух условий: равенства нулю векторной суммы всех приложенных к нему внешних сил (отсутствие поступательного ускорения) и равенства нулю алгебраической суммы моментов этих сил (отсутствие углового ускорения).
4) Поскольку шар полностью находится в жидкости и трение о стенку отсутствует, линии действия всех сил, кроме натяжения нити, пересекаются в центре шара. Следовательно, их моменты относительно центральной оси равны нулю. Так как тело неподвижно, суммарный момент всех сил также равен нулю. Из этого следует, что момент силы натяжения нити относительно центра шара должен быть нулевым, а значит, вектор этой силы направлен вдоль прямой, проходящей через центр тела.

Решение:

Сформулируем условие равновесия через второй закон Ньютона:
$\overset{\rightarrow}{T } + m \overset{\rightarrow}{g} + \overset{\rightarrow}{N} + \overset{\rightarrow}{F_{A}} = 0$

Запишем проекции данного уравнения на выбранные координатные оси Ox и Oy:
$Ох : N - T\sin \alpha = 0 ( 1 ) \\ Oy : mg - T\cos \alpha - F_{A} = 0 ( 2 )$
Геометрический объём шара вычисляется как: $V = \frac{m}{\rho}$

Согласно закону Архимеда, на тело действует выталкивающая сила:
$F_{A} = \rho_{0} gV = mg \frac{\rho_{0}}{\rho} ( 3 ) ,$ где $\rho_{0}$ — плотность окружающей среды (воды).

Используя выражения (2) и (3), проведём алгебраические вычисления:
$T = \frac{mg ( \rho - p_{0} )}{\rho \cos \alpha }$

Опираясь на третий закон Ньютона, определим силу давления на стенку:
$\left|\overset{\rightarrow}{T}\right| = \left|\overset{\rightarrow}{P}\right| = \frac{mg ( \rho - \rho_{0} )}{\rho \cos \alpha }$
$\left|\overset{\rightarrow}{T}\right| = \frac{3 \cdot 10 \cdot ( 2700 - 1000 ) \cdot 2}{2700 \cdot \sqrt{3}}$
$\left|\overset{\rightarrow}{P}\right| \approx 21{,}8 Н$

Ответ: $P \approx 21{,}8 Н$

Источник: ФИПИ