Задание №26 — Закон сохранения механической энергии

Решение:

Обоснование применимости законов. Шарик мал по сравнению с длиной нити, поэтому его считаем материальной точкой. Систему отсчёта, связанную со столом и Землёй, считаем инерциальной, а поле тяжести вблизи поверхности Земли — однородным; это позволяет применять законы Ньютона и записывать силу тяжести как $m\vec g$. Нить лёгкая и нерастяжимая, поэтому до обрыва шарик движется по дуге окружности радиуса $l$ с центром в точке подвеса, а сила натяжения одинакова по всей длине нити. В положении равновесия (в нижней точке траектории) скорость шарика горизонтальна, а его ускорение — центростремительное, направлено вертикально вверх к точке подвеса; это позволяет записать второй закон Ньютона в проекции на вертикаль. Столкновение шарика с бруском абсолютно неупругое и кратковременное: за малое время удара сила тяжести и сила нормальной реакции стола вертикальны и не имеют горизонтальных составляющих, а поверхность стола гладкая, то есть сила трения отсутствует. Поэтому внешние силы не изменяют горизонтальную составляющую импульса системы «шарик + брусок», и она сохраняется. Брусок после удара движется поступательно, поэтому его тоже считаем материальной точкой.

Обозначения. $m=0{,}5\ \text{кг}$ — масса шарика; $l=0{,}8\ \text{м}$ — длина нити; $T_0=8{,}6\ \text{Н}$ — сила натяжения, при которой нить разрывается; $u$ — модуль скорости шарика в положении равновесия, то есть непосредственно перед ударом; $M$ — искомая масса бруска; $v=0{,}4\ \text{м/с}$ — общая скорость шарика и бруска сразу после абсолютно неупругого удара; $g=10\ \text{м/с}^2$ — ускорение свободного падения.

1. Скорость шарика в нижней точке. В положении равновесия на шарик действуют сила тяжести $m\vec g$ (вниз) и сила натяжения нити $\vec T$ (вверх). По второму закону Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вверх, к центру окружности:

$$T-mg=\frac{mu^{2}}{l}.$$

Нить обрывается в тот момент, когда $T=T_0$, поэтому

$$u=\sqrt{\frac{l\,(T_0-mg)}{m}}=\sqrt{\frac{0{,}8\cdot(8{,}6-0{,}5\cdot 10)}{0{,}5}}=\sqrt{5{,}76}=2{,}4\ \text{м/с}.$$

2. Абсолютно неупругий удар. Сразу после обрыва нити шарик со скоростью $u$, направленной горизонтально, налетает на неподвижный брусок и слипается с ним, так что оба тела приобретают одну и ту же скорость $v$. Закон сохранения импульса в проекции на горизонтальное направление движения шарика:

$$mu=(m+M)v.$$

Отсюда

$$M=\frac{m(u-v)}{v}=\frac{0{,}5\cdot(2{,}4-0{,}4)}{0{,}4}=2{,}5\ \text{кг}.$$

Ответ: $M=2{,}5\ \text{кг}$.