Задание №25 — Конденсатор в цепи постоянного тока

Решение:

Обозначения. $C=0{,}1$ мкФ $=1\cdot10^{-7}$ Ф — ёмкость конденсатора; $R=500$ Ом — сопротивление резистора; $Q=7{,}2$ мкДж $=7{,}2\cdot10^{-6}$ Дж — количество теплоты, выделившееся на резисторе за всё время зарядки; $\varepsilon$ — искомая ЭДС источника; $q$ — заряд конденсатора в конце зарядки; $U_C$ — напряжение на конденсаторе в конце зарядки; $A$ — работа сторонних сил источника; $W_C$ — энергия электрического поля конденсатора.

Источник, ключ, конденсатор и резистор соединены последовательно в одну цепь. Сопротивление проводов и внутреннее сопротивление источника равны нулю.

Конечное состояние. После замыкания ключа конденсатор заряжается, ток в цепи убывает и в конце процесса становится равным нулю. Тогда падение напряжения на резисторе $IR=0$, и по второму правилу Кирхгофа для контура всё напряжение источника приходится на конденсатор: $$U_C=\varepsilon.$$

По определению электроёмкости итоговый заряд конденсатора $$q=CU_C=C\varepsilon.$$

Работа источника. Сторонние силы источника перемещают по цепи заряд $q$, совершая работу $$A=q\varepsilon=C\varepsilon^2.$$

Энергия заряженного конденсатора: $$W_C=\frac{CU_C^{\,2}}{2}=\frac{C\varepsilon^2}{2}.$$

Закон сохранения энергии. Вся работа источника идёт на увеличение энергии поля конденсатора и на выделение теплоты в резисторе (других потерь нет): $$A=W_C+Q,\qquad C\varepsilon^2=\frac{C\varepsilon^2}{2}+Q.$$

Отсюда $$Q=\frac{C\varepsilon^2}{2}\quad\Rightarrow\quad \varepsilon=\sqrt{\frac{2Q}{C}}.$$

Заметим, что при зарядке конденсатора через резистор от источника с пренебрежимо малым внутренним сопротивлением на резисторе всегда выделяется теплота, равная конечной энергии конденсатора, и от величины $R$ она не зависит: сопротивление определяет лишь время зарядки. Поэтому значение $R=500$ Ом в ответ не входит.

Расчёт. $$\varepsilon=\sqrt{\frac{2\cdot7{,}2\cdot10^{-6}}{1\cdot10^{-7}}}=\sqrt{144}=12\ \text{В}.$$

Проверка. $q=C\varepsilon=1\cdot10^{-7}\cdot12=1{,}2\cdot10^{-6}$ Кл; $A=q\varepsilon=1{,}44\cdot10^{-5}$ Дж; $W_C=\dfrac{C\varepsilon^2}{2}=7{,}2\cdot10^{-6}$ Дж; $A-W_C=7{,}2\cdot10^{-6}$ Дж $=Q$ — совпадает с условием.

Ответ: $\varepsilon=\sqrt{\dfrac{2Q}{C}}=12$ В.