Задание №25 — Конденсатор. Электрическая ёмкость конденсатора

Дано: C₁ = 1 мкФ = 10^-6 Ф; R = 300 Ом; C₂ = 2 мкФ = 2 · 10^-6 Ф; Q = 30 мДж = 0,03 Дж.

Найти: U - ?

Решение:
Исходный заряд на первом конденсаторе определяется выражением: $q = C_{1} U ( 1 )$
Когда ключ замыкается, происходит перераспределение зарядов. Пусть новые значения зарядов на конденсаторах будут q₁ и q₂.
Согласно закону сохранения электрического заряда, их сумма равна начальному заряду: $q_{1} + q_{2} = C_{1} U$ (2).
Процесс перетекания заряда завершится, когда потенциалы выровняются. Поскольку ток в ветви с резистором R прекратится, падение напряжения на нём станет нулевым, и напряжения на обоих конденсаторах станут идентичными:
$\frac{q_{1}}{C_{1}} = \frac{q_{2}}{C_{2}} ( 3 )$
Опираясь на закон сохранения энергии, можно утверждать, что количество теплоты, выделившееся в системе, эквивалентно уменьшению суммарной энергии электрического поля конденсаторов:

$Q = \frac{C_{1} U^{2}}{2} - \left(\frac{q_{1}^{2}}{2 C_{1}} + \frac{q_{2}^{2}}{2 C_{2}}\right) ( 4 )$

Выполним совместное решение системы, состоящей из уравнений (2), (3) и (4):

$\left\{\begin{matrix} \frac{q_{1}}{C_{1}} = \frac{q_{2}}{C_{2}} ( 5 ) \\ q_{1} + q_{2} = C_{1} U ( 6 ) \\ Q = \frac{C_{1} U^{2}}{2} - \left(\frac{q_{1}^{2}}{2 C_{1}} + \frac{q_{2}^{2}}{2 C_{2}}\right) ( 7 ) \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} q_{2} = \frac{C_{2} q_{1}}{C_{1}} ( 8 ) \\ q_{1} = \frac{C_{1}^{2} U}{\left(C_{1} + C_{2}\right)} ( 9 ) \\ Q = \frac{C_{1} U^{2}}{2} - \left(\frac{q_{1}^{2}}{2 C_{1}} + \frac{q_{2}^{2}}{2 C_{2}}\right) ( 10 ) \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} q_{2} = \frac{C_{1} C_{2} U}{\left(C_{1} + C_{2}\right)} ( 11 ) \\ q_{1} = \frac{C_{1}^{2} U}{\left(C_{1} + C_{2}\right)} ( 12 ) \\ Q = \frac{C_{1} U^{2}}{2} - \left(\frac{\left(\frac{C_{1}^{2} U}{\left(C_{1} + C_{2}\right)}\right)^{2}}{2 C_{1}} + \frac{\left(\frac{C_{1} C_{2} U}{\left(C_{1} + C_{2}\right)}\right)^{2}}{2 C_{2}}\right) ( 13 ) \end{matrix}\right.$

$Q = \frac{C_{1} U^{2}}{2} - \left(\frac{C_{1}^{4} U^{2}}{2 C_{1} \left(C_{1} + C_{2}\right)^{2}} + \frac{C_{1}^{2} C_{2}^{2} U^{2}}{2 C_{2} \left(C_{1} + C_{2}\right)^{2}}\right) ( 14 )$

$Q = \frac{C_{1} U^{2}}{2} - \frac{C_{1}^{3} U^{2} + C_{1}^{2} C_{2} U^{2}}{2 \left(C_{1} + C_{2}\right)^{2}} ( 15 )$

$Q = \frac{C_{1} U^{2}}{2} - \frac{C_{1}^{2} U^{2} \left(C_{1} + C_{2}\right)}{2 \left(C_{1} + C_{2}\right)^{2}} ( 16 )$

$Q = \frac{C_{1} U^{2}}{2} - \frac{C_{1}^{2} U^{2}}{2 \left(C_{1} + C_{2}\right)} ( 17 )$

$Q = \frac{C_{1} U^{2} \left(C_{1} + C_{2}\right) - C_{1}^{2} U^{2}}{2 \left(C_{1} + C_{2}\right)} ( 18 )$

$Q = \frac{C_{1} C_{2} U^{2}}{2 \left(C_{1} + C_{2}\right)} ( 19 )$

$U = \sqrt{\frac{2 Q \left(C_{1} + C_{2}\right)}{C_{1} C_{2}}} ( 20 )$

$U = \sqrt{\frac{2 \cdot 0{,}03 \cdot \left(10^{- 6} + 2 \cdot 10^{- 6}\right)}{10^{- 6} \cdot 2 \cdot 10^{- 6}}} = 300 В .$

Ответ: U = 300 В

Источник: ФИПИ