Задание №26 — Закон сохранения механической энергии

Дано: m = 10 г = 0,01 кг; h = 0,18 м; R = 0,14 м

Найти: E_к0 - ?

Обоснование:
1) Рассмотрим задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй. Будем считать эту систему отсчёта инерциальной (ИСО).
2) Шайба имеет малые размеры по сравнению с кольцом, поэтому описываем её моделью материальной точки.
3) При движении шайбы по поверхности кольца на тело действуют потенциальные силы: тяжести и реакции опоры, перпендикулярная поверхности сферы (трения нет, так как поверхность гладкая). Поэтому рабта силы реакции опоры при движении тела равна нулю. Механическая энергия тела при движении по поверхности сферы для шайбы сохраняется.
4) Поскольку тело описывается моделью материальной точки, условие отрыва этого тела от поверхности сферы формулируется на основе второго закона Ньютона. В момент отрыва обращается в нуль сила реакции опоры.
5) Для материальной точки применимы законы движения по окружности.

Решение:
В точке A шайба отрывается от кольца, поэтому сила реакции опоры обращается в ноль. Выполняется второй закон Ньютона в проекции на ось, направленную к центру окружности:
$mg\cos \alpha = ma ( 1 )$
$a = \frac{v^{2}}{R} ( 2 )$

Подставим (2) в (1):
$mg\cos \alpha = \frac{mv^{2}}{R} ( 3 )$
$v^{2} = Rg\cos \alpha ( 4 )$
$E_{к 0} = \frac{mv^{2}}{2} ( 5 )$

Подставим (4) в (5):
$E_{к 0} = \frac{mRg\cos \alpha }{2} ( 6 )$

Из рисунка получим:
$h = R + R\cos \alpha ( 7 )$
$R\cos = h - R ( 8 )$

Подставим (8) в (6):
$E_{к 0} = \frac{mg \left(h - R\right)}{2} ( 9 )$
$E_{к 0} = \frac{0{,}01 \cdot 10 \cdot \left(0{,}18 - 0{,}14\right)}{2}$
$E_{к 0} = 0{,}002 Дж$

Ответ: $E_{к 0}$ = 0,002 Дж

Источник: ФИПИ