Задание №26 — Второй закон Ньютона

Решение:

Обоснование применимости законов.

• Систему отсчёта, связанную с Землёй (со столом-трибометром), считаем инерциальной, поэтому применимы законы Ньютона.
• Тележка движется поступательно, грузик — тоже; вращением тел (кроме блока) пренебрегаем, поэтому оба тела описываем моделью материальной точки и записываем для каждого второй закон Ньютона.
• Блок и нить невесомы, трение в оси блока не учитываем, поэтому сила натяжения нити одинакова по обе стороны блока.
• Нить нерастяжима, поэтому модули скоростей и ускорений тележки и грузика в любой момент одинаковы. Из нерастяжимости следует и связь направлений: когда тележка движется к блоку (вправо), участок нити «тележка — блок» укорачивается, значит участок «блок — грузик» удлиняется и грузик опускается; при движении тележки влево грузик поднимается.
• Нить натянута и может только тянуть: сила натяжения, приложенная к тележке, всегда направлена горизонтально в сторону блока (вправо).
• Сила сопротивления движению тележки по условию постоянна по модулю и одинакова в обоих случаях; направлена она против скорости тележки.
• В первом случае тележка движется равномерно, то есть её ускорение равно нулю: по первому закону Ньютона (и по второму при $a = 0$) сумма сил, действующих на каждое тело, равна нулю. Это позволяет найти неизвестную силу сопротивления.
• Поле тяжести однородно, $g = 10\ \text{м/с}^2$.

Обозначения. $M$ — масса тележки; $m = \dfrac{M}{9}$ — масса грузика; $T_1$ и $T_2$ — силы натяжения нити в первом и втором случаях; $F_{\text{с}}$ — модуль силы сопротивления движению тележки; $a$ — искомый модуль ускорения; $g$ — ускорение свободного падения.

Действующие силы. На тележку по горизонтали действуют: сила натяжения нити $\vec{T}$ (вправо, к блоку) и сила сопротивления $\vec{F}_{\text{с}}$ (против скорости тележки); сила тяжести и нормальная реакция трибометра по вертикали компенсируют друг друга. На грузик действуют: сила тяжести $m\vec{g}$ (вниз) и сила натяжения нити $\vec{T}$ (вверх).

1) Первый случай — толчок вправо, движение равномерное. Тележка приближается к блоку, грузик опускается; ускорения равны нулю. Сила сопротивления направлена влево (против движения тележки).

Грузик (ось вниз): $mg - T_1 = 0 \Rightarrow T_1 = mg$.

Тележка (ось вправо): $T_1 - F_{\text{с}} = 0 \Rightarrow F_{\text{с}} = T_1 = mg$.

Итак, $F_{\text{с}} = mg = \dfrac{Mg}{9}$ — именно для этого и «подобрана» масса грузика.

2) Второй случай — толчок влево. Тележка движется влево, грузик поднимается. Сила натяжения $\vec{T}_2$ направлена вправо (к блоку), сила сопротивления — также вправо (против движения тележки). Обе силы тормозят тележку, значит её ускорение направлено вправо, а ускорение грузика — вниз (он поднимается, замедляясь); модули ускорений равны $a$.

Второй закон Ньютона для тележки (ось направлена вправо, по ускорению):

$$Ma = T_2 + F_{\text{с}}.$$

Второй закон Ньютона для грузика (ось направлена вниз, по его ускорению):

$$ma = mg - T_2 \quad\Longrightarrow\quad T_2 = m(g - a).$$

3) Решим систему, подставив $T_2$ и $F_{\text{с}} = mg$:

$$Ma = m(g - a) + mg = 2mg - ma,$$

$$a(M + m) = 2mg \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{2mg}{M + m}.$$

4) Учтём $m = \dfrac{M}{9}$:

$$a = \frac{2\cdot\frac{M}{9}\,g}{M + \frac{M}{9}} = \frac{\frac{2}{9}Mg}{\frac{10}{9}M} = \frac{2g}{10} = 0{,}2\,g.$$

5) Расчёт:

$$a = 0{,}2\cdot 10 = 2\ \text{м/с}^2.$$

Проверка. Размерность верна ($\text{м/с}^2$). Натяжение нити при этом $T_2 = m(g - a) = \dfrac{M}{9}\cdot 8 \gt 0$ — нить действительно натянута, решение непротиворечиво. Ускорение меньше $g$, что естественно. Направлено оно против скорости тележки (в сторону блока), то есть тележка, толкнутая влево, движется равнозамедленно.

Ответ: $a = \dfrac{2mg}{M + m} = 0{,}2\,g = 2\ \text{м/с}^2$; ускорение направлено горизонтально в сторону блока, то есть тележка тормозит с ускорением $2\ \text{м/с}^2$.