Задание №26 — Условия равновесия тела

Решение:

Обоснование применимости законов. Систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной. Стержень — абсолютно твёрдое тело, находящееся в покое, поэтому применимы условия равновесия твёрдого тела: векторная сумма всех приложенных к нему сил равна нулю и алгебраическая сумма моментов этих сил относительно любой оси равна нулю. Стержень тонкий и однородный, значит, его центр тяжести находится в середине $AB$, и силу тяжести можно считать приложенной в этой точке. Нить лёгкая и нерастяжимая, поэтому сила её натяжения направлена вдоль нити $BC$, то есть горизонтально. Трение в шарнире пренебрежимо мало, поэтому шарнир не создаёт момента относительно оси, проходящей через точку $A$; при этом сила реакции шарнира не обязана быть направлена вдоль стержня, так как к стержню приложены ещё две силы (стержень не является телом, нагруженным только по концам). Поле тяжести однородно, $g=\text{const}$.

Обозначения. $m=1$ кг — масса стержня; $l$ — длина стержня $AB$; $\alpha=45^{\circ}$ — угол наклона стержня к горизонту; $T$ — модуль силы натяжения нити $BC$; $\vec F$ — сила, действующая на стержень со стороны шарнира, $F_{x}$ и $F_{y}$ — её горизонтальная и вертикальная проекции; $g=10\ \text{м/с}^{2}$ — ускорение свободного падения.

Рисунок (описание сил). На стержень $AB$ действуют три силы:

• $m\vec g$ — сила тяжести, приложена в середине стержня, направлена вертикально вниз;
• $\vec T$ — сила натяжения нити, приложена в верхнем конце $B$, направлена горизонтально от $B$ к $C$, то есть влево, к стене;
• $\vec F$ — сила реакции шарнира, приложена в нижнем конце $A$; её горизонтальная составляющая направлена вправо (от стены) и уравновешивает натяжение нити, а вертикальная составляющая направлена вверх и уравновешивает силу тяжести, так что вектор $\vec F$ направлен вправо-вверх под углом около $63^{\circ}$ к горизонту (не вдоль стержня).

1. Правило моментов относительно оси, проходящей через шарнир $A$ перпендикулярно плоскости рисунка. Плечо силы тяжести равно $\frac{l}{2}\cos\alpha$ (горизонтальное расстояние от $A$ до середины стержня), плечо силы натяжения равно $l\sin\alpha$ (вертикальное расстояние от $A$ до точки $B$), момент силы реакции шарнира равен нулю. Тогда

$$T\,l\sin\alpha=mg\cdot\frac{l}{2}\cos\alpha\quad\Rightarrow\quad T=\frac{mg}{2}\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{mg\,\mathrm{ctg}\,\alpha}{2}.$$

При $\alpha=45^{\circ}$: $T=\dfrac{mg}{2}=\dfrac{1\cdot 10}{2}=5$ Н.

2. Первое условие равновесия (ось $x$ — горизонтально от стены, ось $y$ — вертикально вверх):

$$F_{x}-T=0\quad\Rightarrow\quad F_{x}=T=\frac{mg}{2}=5\ \text{Н},$$

$$F_{y}-mg=0\quad\Rightarrow\quad F_{y}=mg=10\ \text{Н}.$$

3. Модуль силы реакции шарнира:

$$F=\sqrt{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}}=mg\sqrt{1+\frac{\mathrm{ctg}^{2}\alpha}{4}}=mg\cdot\frac{\sqrt{5}}{2}\approx 1{,}12\,mg,$$

$$F=\sqrt{5^{2}+10^{2}}=\sqrt{125}\approx 11{,}2\ \text{Н}\approx 11\ \text{Н}.$$

Проверка. Направление силы реакции: $\mathrm{tg}\,\varphi=\dfrac{F_{y}}{F_{x}}=2$, то есть $\varphi\approx 63^{\circ}$ к горизонту — сила не направлена вдоль стержня ($45^{\circ}$), что и должно быть, так как к стержню приложены три непараллельные силы. Все три силы пересекаются в одной точке, как и требует условие равновесия твёрдого тела под действием трёх сил.

Ответ: $F=mg\sqrt{1+\dfrac{\mathrm{ctg}^{2}\alpha}{4}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}mg\approx 11$ Н.