Задание №26 — Закон сохранения механической энергии

Дано: m = 0,3 кг; l = 0,9 м; T₀ = 6 Н; M = 1,5 кг

Найти: V - ?

Решение:

1) В нижней точке траектории, прямо перед тем как нить порвётся, шарик проходит положение равновесия со скоростью $\overset{\rightarrow}{v} .$, двигаясь по дуге окружности с радиусом l. В данной точке на него действуют направленные вертикально сила натяжения $m \overset{\rightarrow}{g}$ и сила тяжести $\left(\overset{\rightarrow}{T}\right)_{0}$, которые сообщают телу центростремительное ускорение (как показано на чертеже). Применим второй закон Ньютона, спроецировав силы на вертикальную ось Oy в системе отсчёта Oxy, неподвижной относительно Земли:
$T_{0} - mg = ma ( 1 )$
$a = \frac{v^{2}}{l} ( 2 )$

Объединим выражения (2) и (1):
$T_{0} - mg = \frac{mv^{2}}{l} ( 3 )$
$v = \sqrt{l \left(\frac{T_{0}}{m} - g\right)} ( 4 )$

2) В момент разрыва нити шарик имеет горизонтальную скорость $\overset{\rightarrow}{v}$ и совершает абсолютно неупругий удар о неподвижный брусок. Для системы тел «шарик + брусок» выполняется закон сохранения импульса. Запишем его в проекции на горизонтальную ось Ox:
$p_{0} = p ( 5 )$
$p_{0} = mv ( 6 )$
$p = \left(M + m\right) V ( 7 ) ,$ здесь V обозначает проекцию скорости системы после взаимодействия на выбранную ось.

Используя соотношения (6) и (7), преобразуем уравнение (5):
$mv = \left(M + m\right) V ( 8 )$
$V = \frac{mv}{\left(M + m\right)} ( 9 )$

С учётом выражения (4) находим искомую величину из (9):
$V = \frac{m}{\left(M + m\right)} \sqrt{l \left(\frac{T_{0}}{m} - g\right)} ( 10 )$
$V = \frac{0{,}3}{1{,}5 + 0{,}3} \cdot \sqrt{0{,}9 \cdot \left(\frac{6}{0{,}3} - 10\right)}$
$V = 0{,}5 м / с$

Ответ: V = 0,5 м/с

Источник: ФИПИ