Задание №26 — Сила упругости

Решение:

Обоснование применимости законов.

• Систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной, поэтому применимы законы Ньютона, условие равновесия и закон сохранения механической энергии.
• Груз и его части описываем моделью материальной точки (размеры малы, вращения нет).
• Пружина невесома, её деформации считаем упругими, поэтому справедлив закон Гука: модуль силы упругости $F_{\text{упр}} = k|x|$, где $x$ — деформация, а потенциальная энергия упруго деформированной пружины равна $\dfrac{kx^2}{2}$ и зависит только от модуля деформации (формула верна и для растяжения, и для сжатия).
• Трения и сопротивления воздуха нет, поэтому после отделения фрагмента полная механическая энергия системы «оставшаяся часть груза + пружина + Земля» сохраняется.
• Фрагмент отделяется с нулевой начальной скоростью, значит в этот момент оставшаяся часть груза тоже покоится, а деформация пружины ещё равна начальной (мгновенное отделение не меняет длину пружины). Именно это начальное состояние и берём за первое состояние в законе сохранения энергии.
• В точке максимального подъёма скорость оставшейся части груза равна нулю.
• Поле тяжести однородно, $g = 10\ \text{м/с}^2$.

Обозначения. $M$ — масса всего груза до отделения; $m$ — искомая масса отделившегося фрагмента; $M - m$ — масса оставшейся части; $k = 400\ \text{Н/м}$ — жёсткость пружины; $x_0$ — растяжение пружины в исходном положении равновесия; $h = 3\ \text{см} = 0{,}03\ \text{м}$ — максимальный подъём оставшейся части относительно первоначального положения; $g$ — ускорение свободного падения.

1) Условие равновесия исходного груза (на него действуют сила тяжести $Mg$ вниз и сила упругости $kx_0$ вверх):

$$kx_0 = Mg\quad\Longrightarrow\quad x_0 = \frac{Mg}{k}.$$

2) Закон сохранения механической энергии для оставшейся части груза между начальным положением (покой, деформация $x_0$) и верхней точкой (скорость равна нулю, груз поднялся на $h$, деформация стала $x_0 - h$). Нулевой уровень отсчёта высоты — начальное положение груза:

$$\frac{kx_0^2}{2} = (M - m)gh + \frac{k(x_0 - h)^2}{2}.$$

3) Преобразования:

$$\frac{k}{2}\left(x_0^2 - (x_0 - h)^2\right) = (M - m)gh,$$

$$\frac{k}{2}\left(2x_0h - h^2\right) = (M - m)gh,$$

сократим на $h \neq 0$:

$$kx_0 - \frac{kh}{2} = (M - m)g.$$

4) Подставим $kx_0 = Mg$ из п. 1:

$$Mg - \frac{kh}{2} = Mg - mg\quad\Longrightarrow\quad mg = \frac{kh}{2}\quad\Longrightarrow\quad m = \frac{kh}{2g}.$$

Масса всего груза $M$ в ответ не входит — это существенно, ведь она не задана.

5) Расчёт:

$$m = \frac{400\cdot 0{,}03}{2\cdot 10} = \frac{12}{20} = 0{,}6\ \text{кг}.$$

Проверка. Размерность: $\dfrac{(\text{Н/м})\cdot\text{м}}{\text{м/с}^2} = \dfrac{\text{Н}}{\text{м/с}^2} = \text{кг}$. Тот же результат даёт рассуждение через гармонические колебания: после отделения фрагмента новое положение равновесия оставшейся части находится выше прежнего на $\dfrac{Mg}{k} - \dfrac{(M-m)g}{k} = \dfrac{mg}{k}$, а так как начальная скорость равна нулю, груз начинает колебаться с амплитудой $A = \dfrac{mg}{k}$ и поднимается на $h = 2A = \dfrac{2mg}{k}$, откуда снова $m = \dfrac{kh}{2g} = 0{,}6\ \text{кг}$.

Ответ: $m = \dfrac{kh}{2g} = 0{,}6\ \text{кг}$.