Задание №26 — Закон сохранения механической энергии

Решение:

Обоснование применимости законов.

• Систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной — в ней справедливы законы Ньютона и закон сохранения импульса.
• Шарики маленькие, вращением пренебрегаем — применима модель материальной точки.
• Высоты полёта малы по сравнению с радиусом Земли, поле тяжести однородно: $\vec{g} = \mathrm{const}$. Сопротивление воздуха не учитываем, поэтому до и после удара единственная действующая сила — сила тяжести, ускорение каждого тела постоянно и равно $\vec{g}$, и справедливы формулы равноускоренного движения.
• Удар кратковременный: импульс силы тяжести за время удара пренебрежимо мал по сравнению с импульсом внутренних сил взаимодействия, поэтому систему двух шариков во время удара можно считать замкнутой и применить закон сохранения импульса. Перемещением шариков за время удара пренебрегаем.
• Удар абсолютно неупругий — шарики слипаются и дальше движутся как одно тело массой $2m$; механическая энергия при таком ударе не сохраняется, поэтому для удара используется только закон сохранения импульса.
• Шарики одинаковые, значит их массы равны.

Обозначения. $m$ — масса каждого шарика; $\upsilon_0$ — модуль начальной скорости брошенного шарика; $\alpha$ — угол её наклона к горизонту; $t_1$ — момент столкновения; $\vec{v}_1,\ \vec{v}_2$ — скорости шариков непосредственно перед ударом; $\vec{u}$ — скорость слипшихся шариков сразу после удара; $H_1$ — высота точки столкновения над Землёй; $t_2$ — искомое время от столкновения до падения; $g$ — ускорение свободного падения. Оси: $Ox$ — горизонтально по направлению горизонтальной составляющей начальной скорости, $Oy$ — вертикально вверх, начало — в точке броска.

1) Скорости шариков перед ударом (в момент $t_1$):

$$v_{1x} = \upsilon_0\cos\alpha,\qquad v_{1y} = \upsilon_0\sin\alpha - g t_1,$$

$$v_{2x} = 0,\qquad v_{2y} = -g t_1.$$

2) Закон сохранения импульса для абсолютно неупругого удара двух одинаковых шариков:

$$m\vec{v}_1 + m\vec{v}_2 = 2m\vec{u}\quad\Longrightarrow\quad u_y = \frac{v_{1y} + v_{2y}}{2} = \frac{\upsilon_0\sin\alpha - 2g t_1}{2}.$$

3) По условию скорость сразу после удара горизонтальна, то есть $u_y = 0$:

$$t_1 = \frac{\upsilon_0\sin\alpha}{2g}.$$

4) Высота точки столкновения (по первому шарику):

$$H_1 = \upsilon_0\sin\alpha\cdot t_1 - \frac{g t_1^2}{2} = \frac{\upsilon_0^2\sin^2\alpha}{2g} - \frac{\upsilon_0^2\sin^2\alpha}{8g} = \frac{3\upsilon_0^2\sin^2\alpha}{8g}.$$

5) После удара слипшиеся шарики движутся как тело, брошенное горизонтально с высоты $H_1$. По вертикали это свободное падение без начальной скорости:

$$H_1 = \frac{g t_2^2}{2}\quad\Longrightarrow\quad t_2 = \sqrt{\frac{2H_1}{g}} = \sqrt{\frac{3\upsilon_0^2\sin^2\alpha}{4g^2}} = \frac{\sqrt{3}\,\upsilon_0\sin\alpha}{2g} \approx 0{,}87\,\frac{\upsilon_0\sin\alpha}{g}.$$

Проверка. Размерность: $\dfrac{\text{м/с}}{\text{м/с}^2} = \text{с}$. Результат разумен: время подъёма брошенного шарика до вершины равно $\dfrac{\upsilon_0\sin\alpha}{g}$, а падение с высоты $\dfrac{3}{4}$ от максимальной занимает $\sqrt{3}/2 \approx 0{,}87$ этого времени. Заметим также, что второй шарик начал падать с высоты $H_1 + \dfrac{g t_1^2}{2} = \dfrac{\upsilon_0^2\sin^2\alpha}{2g}$ — ровно с высоты вершины траектории первого шарика.

Ответ: $t_2 = \dfrac{\sqrt{3}\,\upsilon_0\sin\alpha}{2g} \approx 0{,}87\,\dfrac{\upsilon_0\sin\alpha}{g}$.