Задание №26 — Закон сохранения импульса системы тел

Решение:

Обоснование применимости законов.

• Систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной, поэтому применимы законы Ньютона и закон сохранения импульса.
• Шарики маленькие, вращением пренебрегаем — описываем их моделью материальной точки.
• Высоты полёта малы по сравнению с радиусом Земли, поле тяжести однородно: $\vec{g} = \mathrm{const}$. Сопротивление воздуха не учитываем, поэтому и до, и после столкновения на каждое тело действует только сила тяжести, ускорение постоянно и равно $\vec{g}$; движение описывается формулами равноускоренного движения (движение тела, брошенного под углом к горизонту).
• Столкновение кратковременно: за время удара внутренние силы взаимодействия шариков много больше внешней силы тяжести, поэтому импульсом силы тяжести за это время можно пренебречь и считать систему двух шариков замкнутой. Следовательно, к удару применим закон сохранения импульса. Изменением координат шариков за время удара также пренебрегаем.
• Удар абсолютно неупругий: после столкновения шарики слипаются и движутся как одно тело массой $2m$ (механическая энергия при этом не сохраняется, поэтому использовать закон сохранения энергии для удара нельзя — только закон сохранения импульса).
• Шарики одинаковые, поэтому их массы равны.

Обозначения. $m$ — масса каждого шарика; $\vec{V}_0$ — начальная скорость первого (брошенного) шарика; $\alpha$ — угол её наклона к горизонту; $t_1$ — момент столкновения; $\vec{v}_1,\ \vec{v}_2$ — скорости первого и второго шариков непосредственно перед ударом; $\vec{u}$ — скорость слипшихся шариков сразу после удара; $H_1$ — высота точки столкновения над Землёй; $t_2$ — время падения слипшихся шариков после удара; $\tau = t_1 + t_2$ — искомый момент падения; $g$ — ускорение свободного падения. Оси: $Ox$ — горизонтально, по направлению горизонтальной составляющей $\vec{V}_0$; $Oy$ — вертикально вверх; начало — в точке броска.

1) Скорости перед ударом. Первый шарик брошен из точки $y = 0$ со скоростью $\vec{V}_0$, второй начал падать из состояния покоя. К моменту $t_1$:

$$v_{1x} = V_0\cos\alpha,\qquad v_{1y} = V_0\sin\alpha - g t_1,$$

$$v_{2x} = 0,\qquad v_{2y} = -g t_1.$$

2) Закон сохранения импульса при абсолютно неупругом ударе:

$$m\vec{v}_1 + m\vec{v}_2 = 2m\vec{u}\quad\Longrightarrow\quad \vec{u} = \frac{\vec{v}_1 + \vec{v}_2}{2}.$$

В проекциях:

$$u_x = \frac{V_0\cos\alpha}{2},\qquad u_y = \frac{V_0\sin\alpha - 2g t_1}{2}.$$

3) Условие «скорость сразу после удара горизонтальна» означает $u_y = 0$:

$$V_0\sin\alpha - 2g t_1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t_1 = \frac{V_0\sin\alpha}{2g}.$$

4) Высота точки столкновения (считаем по первому шарику):

$$H_1 = V_0\sin\alpha\cdot t_1 - \frac{g t_1^2}{2} = \frac{V_0^2\sin^2\alpha}{2g} - \frac{V_0^2\sin^2\alpha}{8g} = \frac{3V_0^2\sin^2\alpha}{8g}.$$

5) Движение после удара. Сразу после удара скорость горизонтальна, значит это горизонтальный бросок с высоты $H_1$; по вертикали движение — свободное падение без начальной вертикальной скорости:

$$H_1 = \frac{g t_2^2}{2}\quad\Longrightarrow\quad t_2 = \sqrt{\frac{2H_1}{g}} = \sqrt{\frac{3V_0^2\sin^2\alpha}{4g^2}} = \frac{\sqrt{3}\,V_0\sin\alpha}{2g}.$$

6) Искомый момент времени:

$$\tau = t_1 + t_2 = \frac{V_0\sin\alpha}{2g} + \frac{\sqrt{3}\,V_0\sin\alpha}{2g} = \frac{\left(1 + \sqrt{3}\right)V_0\sin\alpha}{2g} \approx 1{,}37\,\frac{V_0\sin\alpha}{g}.$$

Проверка. Размерность: $\dfrac{\text{м/с}}{\text{м/с}^2} = \text{с}$ — время. Результат правдоподобен: без столкновения шарик упал бы в момент $\dfrac{2V_0\sin\alpha}{g}$, а из-за удара он теряет вертикальную скорость раньше и падает раньше: $1{,}37 \lt 2$. Дополнительная проверка: второй шарик начал падать с высоты $H_1 + \dfrac{g t_1^2}{2} = \dfrac{3V_0^2\sin^2\alpha}{8g} + \dfrac{V_0^2\sin^2\alpha}{8g} = \dfrac{V_0^2\sin^2\alpha}{2g}$, то есть ровно с высоты вершины траектории первого шарика — условие задачи непротиворечиво.

Ответ: $\tau = \dfrac{\left(1 + \sqrt{3}\right)V_0\sin\alpha}{2g} \approx 1{,}37\,\dfrac{V_0\sin\alpha}{g}$.