Задание №26 — Условия равновесия тела

Решение:

Обоснование применимости законов.

• Систему отсчёта, связанную с Землёй (с опорой), считаем инерциальной, поэтому применимы законы Ньютона и условия равновесия.
• Стержень — протяжённое твёрдое тело, силы приложены к разным его точкам, поэтому моделью материальной точки ограничиться нельзя. Для покоящегося твёрдого тела в инерциальной системе отсчёта должны выполняться два условия равновесия: сумма всех внешних сил равна нулю и сумма моментов всех внешних сил относительно любой оси равна нулю. Искомую величину удобнее всего найти из правила моментов относительно оси, проходящей через шарнир.
• Стержень однородный, поэтому его центр масс совпадает с серединой, и сила тяжести приложена к середине стержня.
• Трение в шарнире отсутствует, а сама сила реакции шарнира приложена в точке, через которую проходит ось моментов, поэтому её момент относительно этой оси равен нулю — это и позволяет исключить неизвестную реакцию шарнира из уравнения.
• Доска скользит относительно неподвижного нижнего конца стержня, значит между ними действует сила трения скольжения, подчиняющаяся закону Амонтона — Кулона $F_{\text{тр}} = \mu N$; на стержень она направлена в сторону движения доски, то есть влево.
• Доска массивна и движется поступательно с постоянной скоростью, значит её ускорение равно нулю и сумма сил, действующих на неё, равна нулю; трением доски об опору пренебрегаем. По третьему закону Ньютона стержень действует на доску силой трения того же модуля $\mu N$, направленной вправо (против движения доски).

Обозначения. $m = 1\ \text{кг}$ — масса стержня; $L$ — его длина (в ответ не войдёт); $\alpha = 30^\circ$ — угол между стержнем и доской; $\mu = 0{,}2$ — коэффициент трения стержня по доске; $N$ — сила нормальной реакции доски, действующая на нижний конец стержня; $F_{\text{тр}} = \mu N$ — сила трения скольжения; $F$ — искомая горизонтальная сила, приложенная к доске; $g = 10\ \text{м/с}^2$.

Силы, действующие на стержень (рисунок): сила тяжести $m\vec{g}$ — вертикально вниз, приложена к середине стержня; сила нормальной реакции доски $\vec{N}$ — вертикально вверх, приложена к нижнему концу стержня; сила трения скольжения $\vec{F}_{\text{тр}}$ — горизонтально влево (по направлению движения доски), приложена к нижнему концу; сила реакции шарнира — приложена к верхнему концу (её момент относительно шарнира равен нулю).

1) Правило моментов относительно горизонтальной оси, проходящей через шарнир перпендикулярно плоскости рисунка. Плечи сил (шарнир — верхний конец стержня, нижний конец удалён от него по горизонтали на $L\cos\alpha$ и по вертикали на $L\sin\alpha$):

• сила тяжести приложена к середине, её плечо — горизонтальное расстояние $\dfrac{L}{2}\cos\alpha$; её момент поворачивает стержень в одну сторону;
• сила $\vec{N}$ вертикальна и приложена к нижнему концу, её плечо — горизонтальное расстояние $L\cos\alpha$;
• сила $\vec{F}_{\text{тр}}$ горизонтальна и приложена к нижнему концу, её плечо — вертикальное расстояние $L\sin\alpha$; её момент поворачивает стержень в ту же сторону, что и момент силы $\vec{N}$ (оба «поднимают» нижний конец), и противоположен моменту силы тяжести.

$$mg\,\frac{L}{2}\cos\alpha = N L\cos\alpha + \mu N L\sin\alpha.$$

2) Длина $L$ сокращается:

$$\frac{mg\cos\alpha}{2} = N(\cos\alpha + \mu\sin\alpha)\quad\Longrightarrow\quad N = \frac{mg\cos\alpha}{2(\cos\alpha + \mu\sin\alpha)}.$$

3) Условие равномерного движения доски. По горизонтали на доску действуют сила $\vec{F}$ (влево) и сила трения со стороны стержня $\mu N$ (вправо), трением об опору пренебрегаем:

$$F = \mu N = \frac{\mu mg\cos\alpha}{2(\cos\alpha + \mu\sin\alpha)}.$$

4) Расчёт. $\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87$, $\sin 30^\circ = 0{,}5$:

$$F = \frac{0{,}2\cdot 1\cdot 10\cdot 0{,}87}{2\,(0{,}87 + 0{,}2\cdot 0{,}5)} = \frac{1{,}73}{1{,}93} \approx 0{,}9\ \text{Н}.$$

Проверка. Размерность верна (ньютоны). При $\mu \to 0$ получаем $N \to \dfrac{mg}{2} = 5\ \text{Н}$ — известный результат для однородного стержня, шарнирно закреплённого одним концом и опирающегося другим: опора несёт половину веса. С учётом трения $N \approx 4{,}5\ \text{Н}$, и $F = \mu N \approx 0{,}9\ \text{Н}$ — заметно меньше $\mu mg = 2\ \text{Н}$, как и должно быть, ведь доска нагружена лишь частью веса стержня.

Ответ: $F = \dfrac{\mu mg\cos\alpha}{2(\cos\alpha + \mu\sin\alpha)} \approx 0{,}9\ \text{Н}$.