Задание №22 — Второй закон Ньютона

Решение:

Обозначения. $m$ — искомая масса бруска; $a=1\ \text{м/с}^2$ — модуль ускорения бруска; $F=2{,}7\ \text{Н}$ — модуль приложенной силы; $\alpha=30^\circ$ — угол между силой $\vec F$ и горизонтом (сила направлена вниз под этим углом, в сторону движения); $\mu=0{,}2$ — коэффициент трения бруска о плоскость; $N$ — модуль силы нормальной реакции опоры; $F_{\text{тр}}$ — модуль силы трения скольжения; $g=10\ \text{м/с}^2$.

Силы, действующие на брусок. На брусок действуют: сила тяжести $m\vec g$ (вертикально вниз), сила нормальной реакции опоры $\vec N$ (вертикально вверх), приложенная сила $\vec F$ (вниз под углом $\alpha$ к горизонту) и сила трения скольжения $\vec F_{\text{тр}}$, направленная против движения (горизонтально, назад).

Законы, используемые в решении. Второй закон Ньютона $m\vec a=m\vec g+\vec N+\vec F+\vec F_{\text{тр}}$ в проекциях на горизонтальную ось $Ox$ (вдоль движения) и вертикальную ось $Oy$ (вверх), а также закон Кулона — Амонтона для силы трения скольжения $F_{\text{тр}}=\mu N$.

$Ox:\quad F\cos\alpha-F_{\text{тр}}=ma,$

$Oy:\quad N-mg-F\sin\alpha=0\ \Rightarrow\ N=mg+F\sin\alpha$

(движение прямолинейное и горизонтальное, поэтому проекция ускорения на ось $Oy$ равна нулю).

Математические преобразования. Подставим $F_{\text{тр}}=\mu N=\mu(mg+F\sin\alpha)$ в уравнение для оси $Ox$:

$$F\cos\alpha-\mu mg-\mu F\sin\alpha=ma.$$

Сгруппируем слагаемые с $m$:

$$m(a+\mu g)=F(\cos\alpha-\mu\sin\alpha)\quad\Rightarrow\quad m=\frac{F(\cos\alpha-\mu\sin\alpha)}{a+\mu g}.$$

Расчёт. Так как $\cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}\approx 0{,}87$ и $\sin 30^\circ=0{,}5$:

$$m=\frac{2{,}7\cdot(0{,}87-0{,}2\cdot 0{,}5)}{1+0{,}2\cdot 10}=\frac{2{,}7\cdot 0{,}77}{3}\approx\frac{2{,}07}{3}\approx 0{,}69\ \text{кг}\approx 0{,}7\ \text{кг}.$$

Ответ: $m\approx 0{,}7\ \text{кг}$.