Задание №26 — Условия равновесия тела

Решение:

Обоснование применимости законов.

• Систему отсчёта, связанную с Землёй (с сосудом), считаем инерциальной, поэтому применимы законы Ньютона и условие равновесия.
• Шар покоится, вращения нет, поэтому его можно описывать моделью материальной точки, а условие равновесия записать в виде равенства нулю векторной суммы всех приложенных к шару сил.
• Жидкость покоится, шар погружён в неё полностью, поэтому на шар действует выталкивающая сила Архимеда $F_A = \rho_0 g V$, где $V$ — объём шара; шар свинцовый и однородный, значит $V = \dfrac{m}{\rho}$.
• Трением шара о стенку пренебрегаем, поэтому сила реакции вертикальной стенки перпендикулярна ей, то есть горизонтальна и направлена вдоль радиуса шара.
• Нить лёгкая и нерастяжимая: сила натяжения направлена вдоль нити. По третьему закону Ньютона сила, с которой нить действует на шар, равна по модулю силе натяжения нити $T$.
• Плотность воды — табличная величина: $\rho_0 = 1000\ \text{кг/м}^3$; $g = 10\ \text{м/с}^2$.

Обозначения. $m = 4\ \text{кг}$ — масса шара; $\rho = 11\,300\ \text{кг/м}^3$ — плотность свинца; $\rho_0 = 1000\ \text{кг/м}^3$ — плотность воды; $V$ — объём шара; $\alpha = 30^\circ$ — угол нити с вертикалью; $T$ — искомая сила натяжения нити (сила, с которой нить действует на шар); $N$ — сила реакции стенки; $F_A$ — сила Архимеда.

Рисунок с указанием сил. Изобразим шар, касающийся вертикальной стенки сосуда, и приложим к его центру четыре силы: 1) силу тяжести $m\vec{g}$ — вертикально вниз; 2) силу Архимеда $\vec{F}_A$ — вертикально вверх; 3) силу натяжения нити $\vec{T}$ — вдоль нити, вверх и в сторону стенки (влево), под углом $\alpha = 30^\circ$ к вертикали; 4) силу нормальной реакции стенки $\vec{N}$ — горизонтально, перпендикулярно стенке, от стенки внутрь жидкости (вправо). Осями выберем $Ox$ — горизонтально (вправо, от стенки) и $Oy$ — вертикально вверх.

1) Условие равновесия шара: $m\vec{g} + \vec{F}_A + \vec{T} + \vec{N} = 0$. В проекциях:

$$Ox:\quad N - T\sin\alpha = 0,$$

$$Oy:\quad T\cos\alpha + F_A - mg = 0.$$

2) Закон Архимеда:

$$F_A = \rho_0 g V,\qquad V = \frac{m}{\rho} \quad\Longrightarrow\quad F_A = \frac{\rho_0}{\rho}mg.$$

3) Подставим $F_A$ в уравнение для оси $Oy$:

$$T\cos\alpha = mg - \frac{\rho_0}{\rho}mg = mg\left(1 - \frac{\rho_0}{\rho}\right),$$

$$T = \frac{mg\left(1 - \dfrac{\rho_0}{\rho}\right)}{\cos\alpha} = \frac{mg(\rho - \rho_0)}{\rho\cos\alpha}.$$

4) Расчёт. $\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87$:

$$T = \frac{4\cdot 10\cdot (11\,300 - 1000)}{11\,300\cdot 0{,}87} \approx \frac{40\cdot 10\,300}{9786} \approx 42\ \text{Н}.$$

Проверка. В воздухе нить держала бы шар с силой $mg = 40\ \text{Н}$; в воде вес уменьшается на $\approx 9\%$ ($mg - F_A \approx 36{,}5\ \text{Н}$), но из-за наклона нити натяжение возрастает в $1/\cos\alpha \approx 1{,}15$ раза, что и даёт $\approx 42\ \text{Н}$ — величина того же порядка, что и вес шара. Размерность: $\text{кг}\cdot\text{м/с}^2 = \text{Н}$.

Ответ: $T = \dfrac{mg(\rho - \rho_0)}{\rho\cos\alpha} \approx 42\ \text{Н}$.