Задание №26 — Второй закон Ньютона

Решение:

Обоснование применимости законов.

• Систему отсчёта, связанную с Землёй (с опорой), считаем инерциальной, поэтому применимы законы Ньютона.
• Брусок покоится, доска движется поступательно, поэтому оба тела можно описывать моделью материальной точки, а условие равновесия бруска и доски — равенством нулю векторной суммы приложенных к каждому из них сил (первый закон Ньютона: ускорение равно нулю как при покое, так и при равномерном прямолинейном движении).
• Нить лёгкая (невесомая), поэтому сила натяжения одинакова по всей её длине и направлена вдоль нити.
• Доска скользит относительно бруска, значит между ними действует сила трения скольжения, для которой справедлив закон Амонтона — Кулона $F_{\text{тр}} = \mu N$; она направлена по направлению относительного движения доски, то есть на брусок — вправо.
• По третьему закону Ньютона брусок действует на доску силой трения того же модуля $\mu N$, направленной влево (против движения доски).
• Доска массивна и движется равномерно, значит её ускорение равно нулю и сумма всех действующих на неё сил равна нулю; трением доски об опору пренебрегаем по условию.

Обозначения. $m = 1\ \text{кг}$ — масса бруска; $\alpha = 30^\circ$ — угол нити с вертикалью; $\mu = 0{,}2$ — коэффициент трения бруска по доске; $T$ — сила натяжения нити; $N$ — модуль силы нормальной реакции доски, действующей на брусок; $F_{\text{тр}} = \mu N$ — сила трения скольжения; $F$ — искомая горизонтальная сила, приложенная к доске; $g = 10\ \text{м/с}^2$.

Силы, действующие на брусок (рисунок): сила тяжести $m\vec{g}$ — вертикально вниз; сила натяжения нити $\vec{T}$ — вдоль нити вверх и влево, под углом $\alpha = 30^\circ$ к вертикали; сила нормальной реакции доски $\vec{N}$ — вертикально вверх; сила трения скольжения $\vec{F}_{\text{тр}}$ — горизонтально вправо (по направлению движения доски).

1) Условие равновесия бруска $m\vec{g} + \vec{T} + \vec{N} + \vec{F}_{\text{тр}} = 0$ в проекциях на горизонтальную ось $Ox$ (вправо) и вертикальную ось $Oy$ (вверх):

$$Ox:\quad \mu N - T\sin\alpha = 0,$$

$$Oy:\quad N + T\cos\alpha - mg = 0.$$

2) Решим систему. Из первого уравнения $T = \dfrac{\mu N}{\sin\alpha}$; подставляем во второе:

$$N + \frac{\mu N\cos\alpha}{\sin\alpha} = mg \quad\Longrightarrow\quad N\,\frac{\sin\alpha + \mu\cos\alpha}{\sin\alpha} = mg,$$

$$N = \frac{mg\sin\alpha}{\sin\alpha + \mu\cos\alpha}.$$

3) Условие равномерного движения доски. На доску по горизонтали действуют искомая сила $\vec{F}$ (вправо) и сила трения со стороны бруска $\mu N$ (влево); трением об опору пренебрегаем. Тогда

$$F = \mu N = \frac{\mu mg\sin\alpha}{\sin\alpha + \mu\cos\alpha}.$$

4) Расчёт. $\sin 30^\circ = 0{,}5$, $\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87$:

$$F = \frac{0{,}2\cdot 1\cdot 10\cdot 0{,}5}{0{,}5 + 0{,}2\cdot 0{,}87} = \frac{1}{0{,}673} \approx 1{,}5\ \text{Н}.$$

Проверка. Размерность: $\mu$ безразмерен, $mg$ — ньютоны, тригонометрические множители безразмерны, значит $F$ измеряется в ньютонах. Оценка правдоподобна: $N \approx 7{,}4\ \text{Н} \lt mg = 10\ \text{Н}$, так как часть веса бруска держит нить; при $\alpha \to 0$ (вертикальная нить) получилось бы $F \to \mu mg = 2\ \text{Н}$.

Ответ: $F = \dfrac{\mu mg\sin\alpha}{\sin\alpha + \mu\cos\alpha} \approx 1{,}5\ \text{Н}$.