Задание №26 — Закон сохранения механической энергии

#68870Задание №26ФИПИ

Свободное падениеЗакон изменения и сохранения механической энергии

При выполнении трюка «Летающий велосипедист» гонщик движется по гладкому трамплину под действием силы тяжести, начиная движение из состояния покоя с некоторой высоты (см. рис.). На краю трамплина скорость гонщика направлена под углом α = 60° к горизонту. Пролетев по воздуху, он приземляется на горизонтальный стол, поднявшись в полёте на высоту h над краем трамплина. С какой высоты H начинал движение гонщик? Обоснуйте применимость законов, используемых при решении задачи.

Ваше решениедо 4 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение:

Обоснование применимости законов.

Систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной — в ней справедливы законы Ньютона и следующие из них законы сохранения.
Размеры гонщика с велосипедом малы по сравнению с длиной трамплина и дальностью полёта, вращением пренебрегаем: применима модель материальной точки.
Высоты малы по сравнению с радиусом Земли, поле тяжести однородно: $\vec{g} = \mathrm{const}$ , $g = 10\ \text{м/с}^2$ .
Трамплин гладкий, сопротивление воздуха не учитываем: работу совершает только консервативная сила тяжести, а сила нормальной реакции трамплина в каждой точке перпендикулярна скорости и работы не совершает. Поэтому полная механическая энергия системы «гонщик — Земля» сохраняется.
После отрыва от трамплина единственная сила — сила тяжести, ускорение постоянно и равно $\vec{g}$ ; это движение тела, брошенного под углом к горизонту, для которого справедливы формулы равноускоренного движения.

Обозначения. $m$ — масса гонщика с велосипедом; $H$ — искомая высота стартовой точки над уровнем края трамплина (см. рис.); $v$ — модуль скорости на краю трамплина; $\alpha = 60^\circ$ — угол вылета к горизонту; $h$ — высота подъёма в полёте над краем трамплина; $g$ — ускорение свободного падения.

1) Закон сохранения механической энергии на участке «старт — край трамплина» (нулевой уровень — уровень края трамплина, начальная скорость равна нулю):

$mgH = \frac{mv^2}{2}\quad\Longrightarrow\quad v^2 = 2gH.$

2) Высота подъёма в полёте. Вертикальная составляющая скорости при вылете $v_y = v\sin\alpha$ ; в высшей точке траектории она обращается в нуль, поэтому по формуле равноускоренного движения $v_y^2 = 2gh$ :

$h = \frac{v^2\sin^2\alpha}{2g}.$

3) Исключим $v^2$ , подставив $v^2 = 2gH$ :

$h = \frac{2gH\sin^2\alpha}{2g} = H\sin^2\alpha \quad\Longrightarrow\quad H = \frac{h}{\sin^2\alpha}.$

4) Расчёт. При $\alpha = 60^\circ$ : $\sin^2\alpha = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \dfrac{3}{4}$ , поэтому

$H = \frac{h}{3/4} = \frac{4h}{3} \approx 1{,}33\,h.$

Проверка. Размерность верна ( $H$ выражается через длину $h$ ). Результат разумен: $H \gt h$ , то есть гонщик поднимается не выше точки старта, что и требует закон сохранения энергии; равенство $H = h$ достигалось бы только при вертикальном вылете $\alpha = 90^\circ$ .

Ответ: $H = \dfrac{h}{\sin^2\alpha} = \dfrac{4h}{3} \approx 1{,}33\,h$ (высота старта над уровнем края трамплина).