Задание №26 — Закон сохранения механической энергии

Решение:

Обоснование применимости законов.

• Систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной — в ней справедливы законы Ньютона и следующие из них законы сохранения.
• Размеры гонщика с велосипедом малы по сравнению с длиной трамплина и дальностью полёта, вращением пренебрегаем: применима модель материальной точки.
• Высоты малы по сравнению с радиусом Земли, поле тяжести однородно: $\vec{g} = \mathrm{const}$, $g = 10\ \text{м/с}^2$.
• Трамплин гладкий, сопротивление воздуха не учитываем: работу совершает только консервативная сила тяжести, а сила нормальной реакции трамплина в каждой точке перпендикулярна скорости и работы не совершает. Поэтому полная механическая энергия системы «гонщик — Земля» сохраняется.
• После отрыва от трамплина единственная сила — сила тяжести, ускорение постоянно и равно $\vec{g}$; это движение тела, брошенного под углом к горизонту, для которого справедливы формулы равноускоренного движения.

Обозначения. $m$ — масса гонщика с велосипедом; $H$ — искомая высота стартовой точки над уровнем края трамплина (см. рис.); $v$ — модуль скорости на краю трамплина; $\alpha = 60^\circ$ — угол вылета к горизонту; $h$ — высота подъёма в полёте над краем трамплина; $g$ — ускорение свободного падения.

1) Закон сохранения механической энергии на участке «старт — край трамплина» (нулевой уровень — уровень края трамплина, начальная скорость равна нулю):

$$mgH = \frac{mv^2}{2}\quad\Longrightarrow\quad v^2 = 2gH.$$

2) Высота подъёма в полёте. Вертикальная составляющая скорости при вылете $v_y = v\sin\alpha$; в высшей точке траектории она обращается в нуль, поэтому по формуле равноускоренного движения $v_y^2 = 2gh$:

$$h = \frac{v^2\sin^2\alpha}{2g}.$$

3) Исключим $v^2$, подставив $v^2 = 2gH$:

$$h = \frac{2gH\sin^2\alpha}{2g} = H\sin^2\alpha \quad\Longrightarrow\quad H = \frac{h}{\sin^2\alpha}.$$

4) Расчёт. При $\alpha = 60^\circ$: $\sin^2\alpha = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \dfrac{3}{4}$, поэтому

$$H = \frac{h}{3/4} = \frac{4h}{3} \approx 1{,}33\,h.$$

Проверка. Размерность верна ($H$ выражается через длину $h$). Результат разумен: $H \gt h$, то есть гонщик поднимается не выше точки старта, что и требует закон сохранения энергии; равенство $H = h$ достигалось бы только при вертикальном вылете $\alpha = 90^\circ$.

Ответ: $H = \dfrac{h}{\sin^2\alpha} = \dfrac{4h}{3} \approx 1{,}33\,h$ (высота старта над уровнем края трамплина).