Задание №26 — Закон сохранения механической энергии

Решение:

Обоснование применимости законов.

• Система отсчёта связана с Землёй и считается инерциальной, поэтому применимы законы Ньютона и вытекающие из них законы сохранения.
• Размеры гонщика с велосипедом малы по сравнению с длиной трамплина и дальностью полёта, вращением пренебрегаем — используем модель материальной точки.
• Высоты и дальности малы по сравнению с радиусом Земли, поэтому поле тяжести однородно: $\vec{g} = \mathrm{const}$, $g = 10\ \text{м/с}^2$.
• Трамплин гладкий, сопротивление воздуха не учитываем. На спуске работу совершает только сила тяжести (консервативная), а сила нормальной реакции трамплина перпендикулярна скорости и работы не совершает, поэтому полная механическая энергия системы «гонщик — Земля» сохраняется.
• В полёте на гонщика действует только сила тяжести, ускорение постоянно и равно $\vec{g}$ — это движение тела, брошенного под углом к горизонту: по горизонтали движение равномерное, по вертикали равноускоренное.
• Точка вылета и точка приземления лежат на одной высоте (край трамплина и стол — на одном уровне), поэтому для дальности полёта справедлива стандартная формула броска под углом к горизонту.

Обозначения. $m$ — масса гонщика с велосипедом; $H$ — искомая высота стартовой точки над краем трамплина; $v$ — модуль скорости на краю трамплина; $\alpha = 60^\circ$ — угол вылета; $S$ — дальность полёта (горизонтальное перемещение от края трамплина до точки приземления); $t$ — время полёта; $g$ — ускорение свободного падения.

1) Закон сохранения механической энергии для участка «старт — край трамплина» (нулевой уровень — уровень края трамплина, начальная скорость равна нулю):

$$mgH = \frac{mv^2}{2}\quad\Longrightarrow\quad v^2 = 2gH.$$

2) Кинематика полёта. Оси: $Ox$ — горизонтально по направлению полёта, $Oy$ — вертикально вверх, начало в точке вылета. Тогда

$$x = v\cos\alpha \cdot t,\qquad y = v\sin\alpha \cdot t - \frac{gt^2}{2}.$$

Приземление происходит на той же высоте, то есть при $y = 0$ и $t \neq 0$:

$$t = \frac{2v\sin\alpha}{g}.$$

Дальность полёта

$$S = v\cos\alpha\cdot t = \frac{2v^2\sin\alpha\cos\alpha}{g} = \frac{v^2\sin 2\alpha}{g}.$$

3) Объединим с результатом п. 1, подставив $v^2 = 2gH$:

$$S = \frac{2gH\sin 2\alpha}{g} = 2H\sin 2\alpha \quad\Longrightarrow\quad H = \frac{S}{2\sin 2\alpha}.$$

4) Расчёт. При $\alpha = 60^\circ$ имеем $2\alpha = 120^\circ$, $\sin 120^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому

$$H = \frac{S}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{S}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}S \approx 0{,}58\,S.$$

Проверка. Размерность верна: $H$ выражается через длину $S$. Результат разумен: чем больше дальность, тем выше должна быть стартовая точка; при $\alpha \to 90^\circ$ или $\alpha \to 0$ $\sin 2\alpha \to 0$ и требуемая высота неограниченно растёт, что физически понятно.

Ответ: $H = \dfrac{S}{2\sin 2\alpha} = \dfrac{S}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}S \approx 0{,}58\,S$ (высота отсчитана от уровня края трамплина).