Задание №26 — Закон сохранения механической энергии

Решение:

Обоснование применимости законов.

• Все рассуждения проводим в системе отсчёта, связанной с Землёй; в условиях данной задачи её можно считать инерциальной, поэтому применимы законы Ньютона и следствия из них.
• Размеры гонщика с велосипедом малы по сравнению с длиной трамплина и с дальностью полёта, вращением тела пренебрегаем, поэтому систему «гонщик + велосипед» описываем моделью материальной точки.
• Высоты подъёма малы по сравнению с радиусом Земли, значит поле тяжести можно считать однородным: $\vec{g} = \mathrm{const}$, $g = 10\ \text{м/с}^2$.
• Трамплин по условию гладкий, сопротивлением воздуха пренебрегаем. Тогда на гонщика при спуске действуют только сила тяжести (консервативная) и сила нормальной реакции трамплина, которая в каждой точке перпендикулярна скорости и потому работы не совершает. Следовательно, полная механическая энергия системы «гонщик — Земля» сохраняется. Именно этому идеальному случаю (без потерь на трение и сопротивление воздуха) отвечает максимально возможная высота полёта: любые потери энергии уменьшили бы скорость на краю трамплина, а с ней и высоту подъёма.
• После отрыва от трамплина на гонщика действует только сила тяжести, поэтому его ускорение постоянно и равно $\vec{g}$: это движение тела, брошенного под углом к горизонту. Горизонтальная составляющая скорости постоянна, вертикальная меняется равноускоренно.

Обозначения. $m$ — масса гонщика с велосипедом; $H$ — высота стартовой точки над уровнем края трамплина (см. рис.); $v$ — модуль скорости гонщика на краю трамплина; $\alpha = 60^\circ$ — угол между этой скоростью и горизонтом; $h$ — искомая максимальная высота подъёма над краем трамплина (над уровнем стола); $g$ — ускорение свободного падения.

1) Закон сохранения механической энергии на участке «старт — край трамплина». Нулевой уровень потенциальной энергии выбираем на уровне края трамплина; в начальный момент гонщик покоится:

$$mgH = \frac{mv^2}{2}\quad\Longrightarrow\quad v^2 = 2gH.$$

2) Полёт. Разложим скорость на краю трамплина на составляющие: $v_x = v\cos\alpha$, $v_y = v\sin\alpha$. В верхней точке траектории вертикальная составляющая скорости обращается в нуль, поэтому из формулы равноускоренного движения по вертикали $v_y^2 = 2gh$ получаем

$$h = \frac{v_y^2}{2g} = \frac{v^2\sin^2\alpha}{2g}.$$

3) Подставим $v^2 = 2gH$:

$$h = \frac{2gH\sin^2\alpha}{2g} = H\sin^2\alpha.$$

Ускорение свободного падения сократилось — ответ определяется только высотой старта и углом вылета.

4) Расчёт. При $\alpha = 60^\circ$ имеем $\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin^2\alpha = \dfrac{3}{4}$, поэтому

$$h = \frac{3}{4}H = 0{,}75H.$$

Проверка. Размерность правильная: $h$ выражается через $H$ (метры). Предельные случаи разумны: при $\alpha \to 90^\circ$ (вертикальный вылет) $h \to H$, то есть гонщик поднимается ровно на высоту старта, как и требует закон сохранения энергии; при $\alpha \to 0$ $h \to 0$.

Ответ: $h = H\sin^2\alpha = 0{,}75H$ — максимальная высота полёта над краем трамплина составляет $0{,}75$ высоты стартовой точки над ним.