Задание №26 — Закон сохранения механической энергии

#68874Задание №26ФИПИ

Свободное падениеЗакон изменения и сохранения механической энергии

При выполнении трюка «Летающий велосипедист» гонщик движется по гладкому трамплину под действием силы тяжести, начиная движение из состояния покоя с высоты Н (см. рис.). На краю трамплина скорость гонщика направлена под углом α = 60° к горизонту. Пролетев по воздуху, он приземляется на горизонтальный стол, находящийся на той же высоте, что и край трамплина. Какова максимально возможная высота полёта гонщика? Обоснуйте применимость законов, используемых при решении задачи.

Ваше решениедо 4 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение:

Обоснование применимости законов.

Все рассуждения проводим в системе отсчёта, связанной с Землёй; в условиях данной задачи её можно считать инерциальной, поэтому применимы законы Ньютона и следствия из них.
Размеры гонщика с велосипедом малы по сравнению с длиной трамплина и с дальностью полёта, вращением тела пренебрегаем, поэтому систему «гонщик + велосипед» описываем моделью материальной точки.
Высоты подъёма малы по сравнению с радиусом Земли, значит поле тяжести можно считать однородным: $\vec{g} = \mathrm{const}$ , $g = 10\ \text{м/с}^2$ .
Трамплин по условию гладкий, сопротивлением воздуха пренебрегаем. Тогда на гонщика при спуске действуют только сила тяжести (консервативная) и сила нормальной реакции трамплина, которая в каждой точке перпендикулярна скорости и потому работы не совершает. Следовательно, полная механическая энергия системы «гонщик — Земля» сохраняется. Именно этому идеальному случаю (без потерь на трение и сопротивление воздуха) отвечает максимально возможная высота полёта: любые потери энергии уменьшили бы скорость на краю трамплина, а с ней и высоту подъёма.
После отрыва от трамплина на гонщика действует только сила тяжести, поэтому его ускорение постоянно и равно $\vec{g}$ : это движение тела, брошенного под углом к горизонту. Горизонтальная составляющая скорости постоянна, вертикальная меняется равноускоренно.

Обозначения. $m$ — масса гонщика с велосипедом; $H$ — высота стартовой точки над уровнем края трамплина (см. рис.); $v$ — модуль скорости гонщика на краю трамплина; $\alpha = 60^\circ$ — угол между этой скоростью и горизонтом; $h$ — искомая максимальная высота подъёма над краем трамплина (над уровнем стола); $g$ — ускорение свободного падения.

1) Закон сохранения механической энергии на участке «старт — край трамплина». Нулевой уровень потенциальной энергии выбираем на уровне края трамплина; в начальный момент гонщик покоится:

$mgH = \frac{mv^2}{2}\quad\Longrightarrow\quad v^2 = 2gH.$

2) Полёт. Разложим скорость на краю трамплина на составляющие: $v_x = v\cos\alpha$ , $v_y = v\sin\alpha$ . В верхней точке траектории вертикальная составляющая скорости обращается в нуль, поэтому из формулы равноускоренного движения по вертикали $v_y^2 = 2gh$ получаем

$h = \frac{v_y^2}{2g} = \frac{v^2\sin^2\alpha}{2g}.$

3) Подставим $v^2 = 2gH$ :

$h = \frac{2gH\sin^2\alpha}{2g} = H\sin^2\alpha.$

Ускорение свободного падения сократилось — ответ определяется только высотой старта и углом вылета.

4) Расчёт. При $\alpha = 60^\circ$ имеем $\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\sin^2\alpha = \dfrac{3}{4}$ , поэтому

$h = \frac{3}{4}H = 0{,}75H.$

Проверка. Размерность правильная: $h$ выражается через $H$ (метры). Предельные случаи разумны: при $\alpha \to 90^\circ$ (вертикальный вылет) $h \to H$ , то есть гонщик поднимается ровно на высоту старта, как и требует закон сохранения энергии; при $\alpha \to 0$ $h \to 0$ .

Ответ: $h = H\sin^2\alpha = 0{,}75H$ — максимальная высота полёта над краем трамплина составляет $0{,}75$ высоты стартовой точки над ним.