Задание №26 — Закон сохранения механической энергии

Решение:

Обоснование применимости законов. Систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной. Гонщика с велосипедом считаем материальной точкой, так как его размеры малы по сравнению с высотой $H$ и дальностью полёта. Трамплин гладкий и неподвижный, сопротивление воздуха не учитываем, сила нормальной реакции трамплина перпендикулярна скорости и работы не совершает — поэтому на спуске работу совершает только сила тяжести и полная механическая энергия сохраняется. Поле тяжести однородно, $g=\text{const}$. После отрыва от края трамплина на гонщика действует только сила тяжести, поэтому его движение равноускоренное с ускорением $\vec g$, горизонтальная составляющая скорости постоянна, а траектория — парабола. Край трамплина и поверхность стола находятся на одном уровне (см. рис.), поэтому применима формула дальности полёта тела, брошенного под углом к горизонту, при движении между точками одной высоты.

Обозначения. $H$ — высота начальной точки над краем трамплина (то есть над уровнем стола); $m$ — масса гонщика с велосипедом; $v$ — модуль скорости на краю трамплина; $\alpha=60^{\circ}$ — угол между этой скоростью и горизонтом; $s$ — искомая дальность полёта; $t$ — время полёта; $g$ — ускорение свободного падения.

1. Скорость на краю трамплина. Гонщик начинает движение из состояния покоя, поэтому по закону сохранения механической энергии

$$mgH=\frac{mv^{2}}{2}\quad\Rightarrow\quad v^{2}=2gH,\qquad v=\sqrt{2gH}.$$

2. Полёт. Направим ось $x$ горизонтально в сторону полёта, ось $y$ — вертикально вверх, начало координат — на краю трамплина:

$$x=v\cos\alpha\cdot t,\qquad y=v\sin\alpha\cdot t-\frac{gt^{2}}{2}.$$

Приземление происходит на той же высоте, поэтому $y=0$ при $t=\dfrac{2v\sin\alpha}{g}$, и дальность полёта равна

$$s=v\cos\alpha\cdot t=\frac{v^{2}\sin 2\alpha}{g}.$$

3. Объединяя результаты:

$$s=\frac{2gH\sin 2\alpha}{g}=2H\sin 2\alpha=2H\sin 120^{\circ}=2H\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\,H\approx 1{,}7H.$$

Проверка. Ответ не зависит от массы гонщика (что естественно: и разгон, и полёт происходят под действием только силы тяжести) и имеет размерность длины. При $\alpha=45^{\circ}$ формула $s=2H\sin 2\alpha$ дала бы максимальную дальность $2H$, при $\alpha\to 90^{\circ}$ дальность стремилась бы к нулю — качественно верно.

Ответ: $s=2H\sin 2\alpha=\sqrt{3}\,H\approx 1{,}7H$.