Задание №26 — Закон сохранения механической энергии

Решение:

Обоснование применимости законов. Систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной. Шарик считаем материальной точкой. Трения в стволе нет, сопротивление воздуха не учитываем, пружина лёгкая (её кинетической энергией пренебрегаем), поэтому вся энергия сжатой пружины переходит в кинетическую энергию шарика и в приращение его потенциальной энергии в поле тяжести — полная механическая энергия системы «пружина + шарик + Земля» сохраняется. Размеры траектории малы по сравнению с радиусом Земли, поле тяжести однородно, $g=\text{const}$. После вылета из ствола на шарик действует только сила тяжести, поэтому его движение равноускоренное с ускорением $\vec g$, а траектория — парабола; горизонтальная составляющая скорости при этом постоянна. Точка вылета (дуло) и точка $M$ находятся на одной высоте, поэтому применима формула дальности полёта при бросании под углом к горизонту.

Обозначения. $E=0{,}41$ Дж — энергия сжатой пружины; $m=50$ г $=0{,}05$ кг — масса шарика; $\alpha=30^{\circ}$ — угол наклона ствола к горизонту; $b$ — искомый путь шарика по стволу; $v$ — модуль скорости шарика при вылете из ствола; $L=1$ м — расстояние по горизонтали от дула до точки $M$; $t$ — время полёта; $g=10\ \text{м/с}^{2}$ — ускорение свободного падения.

1. Скорость вылета из уравнений полёта. Направим ось $x$ горизонтально в сторону полёта, ось $y$ — вертикально вверх, начало координат — в дуле. Тогда

$$x=v\cos\alpha\cdot t,\qquad y=v\sin\alpha\cdot t-\frac{gt^{2}}{2}.$$

В момент падения $y=0$ (точка $M$ на той же высоте, что и дуло), откуда $t=\dfrac{2v\sin\alpha}{g}$, и

$$L=v\cos\alpha\cdot\frac{2v\sin\alpha}{g}=\frac{v^{2}\sin 2\alpha}{g}\quad\Rightarrow\quad v^{2}=\frac{gL}{\sin 2\alpha}.$$

Численно: $\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}87$, поэтому

$$v^{2}=\frac{10\cdot 1}{0{,}87}\approx 11{,}5\ \text{м}^{2}/\text{с}^{2},\qquad v\approx 3{,}4\ \text{м/с}.$$

2. Закон сохранения энергии при выстреле. Пока шарик проходит по стволу путь $b$, он поднимается на высоту $b\sin\alpha$. Энергия сжатой пружины переходит в кинетическую энергию шарика и в его потенциальную энергию:

$$E=\frac{mv^{2}}{2}+mgb\sin\alpha\quad\Rightarrow\quad b=\frac{E-\dfrac{mv^{2}}{2}}{mg\sin\alpha}=\frac{E-\dfrac{mgL}{2\sin 2\alpha}}{mg\sin\alpha}.$$

3. Расчёт.

$$\frac{mv^{2}}{2}=\frac{0{,}05\cdot 11{,}5}{2}\approx 0{,}29\ \text{Дж},$$

$$b=\frac{0{,}41-0{,}29}{0{,}05\cdot 10\cdot 0{,}5}=\frac{0{,}12}{0{,}25}\approx 0{,}49\ \text{м}\approx 0{,}5\ \text{м}.$$

Проверка. Потенциальная энергия, набранная в стволе, $mgb\sin\alpha\approx 0{,}05\cdot 10\cdot 0{,}49\cdot 0{,}5\approx 0{,}12$ Дж, что вместе с кинетической энергией $0{,}29$ Дж даёт $0{,}41$ Дж — энергию пружины. Значение $b\approx 0{,}5$ м разумно для длины ствола пружинного ружья.

Ответ: $b\approx 0{,}49\ \text{м}\approx 0{,}5$ м.