Задание №25 — Закон Ампера. Направление силы Ампера.

Решение:

Обозначения. $m=92$ г $=0{,}092$ кг — масса перемычки; $L=1{,}5$ м — её длина (расстояние между направляющими); $R=0{,}1$ Ом — сопротивление перемычки (сопротивлением П-образного стержня пренебрегаем, поэтому $R$ — полное сопротивление контура); $B=0{,}1$ Тл — модуль индукции однородного вертикального магнитного поля; $F=1{,}13$ Н — приложенная горизонтальная сила; $\mu=0{,}25$ — коэффициент трения; $v$ — искомая установившаяся скорость; $\mathcal{E}$ — ЭДС индукции; $I$ — сила индукционного тока; $N$ — сила нормальной реакции; $F_{\text{тр}}$ — сила трения скольжения; $F_{\text{А}}$ — сила Ампера; $g=10$ м/с$^2$.

Рисунок (силы, действующие на перемычку). К центру перемычки приложены:

• сила тяжести $m\vec g$ — вертикально вниз;
• сила нормальной реакции $\vec N$ со стороны направляющих — вертикально вверх;
• приложенная сила $\vec F$ — горизонтально, вдоль направляющих, в сторону движения;
• сила трения скольжения $\vec F_{\text{тр}}$ — горизонтально, против скорости $\vec v$;
• сила Ампера $\vec F_{\text{А}}$ — горизонтально, против скорости $\vec v$ (по правилу Ленца индукционный ток тормозит перемычку).

Поле вертикально, а ток течёт вдоль перемычки (горизонтально), поэтому сила Ампера $\vec F_{\text{А}}=I\,\vec L\times\vec B$ перпендикулярна и полю, и перемычке: она горизонтальна, направлена вдоль направляющих и вертикальной составляющей не имеет.

Второй закон Ньютона в проекции на вертикаль (перемычка по вертикали не движется): $$N-mg=0\quad\Rightarrow\quad N=mg.$$

Сила трения скольжения: $F_{\text{тр}}=\mu N=\mu mg$.

Движение установившееся, ускорение равно нулю, поэтому в проекции на направление движения: $$F-F_{\text{тр}}-F_{\text{А}}=0\quad\Rightarrow\quad F=\mu mg+F_{\text{А}}.$$

Сила Ампера: $F_{\text{А}}=BIL$.

Закон электромагнитной индукции Фарадея для перемычки, движущейся перпендикулярно самой себе и перпендикулярно полю: $$\mathcal{E}=\left|\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right|=BLv.$$

Закон Ома для замкнутого контура: $$I=\frac{\mathcal{E}}{R}=\frac{BLv}{R}.$$

Тогда $$F=\mu mg+\frac{B^2L^2v}{R}\quad\Rightarrow\quad v=\frac{(F-\mu mg)R}{B^2L^2}.$$

Расчёт. $$\mu mg=0{,}25\cdot0{,}092\cdot10=0{,}23\ \text{Н},\qquad F-\mu mg=1{,}13-0{,}23=0{,}90\ \text{Н},$$ $$B^2L^2=(0{,}1)^2\cdot(1{,}5)^2=0{,}01\cdot2{,}25=0{,}0225\ \text{Тл}^2\cdot\text{м}^2,$$ $$v=\frac{0{,}90\cdot0{,}1}{0{,}0225}=\frac{0{,}09}{0{,}0225}=4\ \text{м/с}.$$

Проверка. При $v=4$ м/с: $\mathcal{E}=BLv=0{,}1\cdot1{,}5\cdot4=0{,}6$ В, $I=\mathcal{E}/R=6$ А, $F_{\text{А}}=BIL=0{,}1\cdot6\cdot1{,}5=0{,}9$ Н, что в сумме с силой трения $0{,}23$ Н даёт $1{,}13$ Н $=F$.

Ответ: $v=\dfrac{(F-\mu mg)R}{B^2L^2}=4$ м/с.