Задание №25 — Закон Ампера. Направление силы Ампера.

Решение:

Обозначения. $m=92$ г $=0{,}092$ кг — масса перемычки; $L=1$ м — её длина (расстояние между направляющими); $R=0{,}1$ Ом — сопротивление перемычки (сопротивление П-образного стержня равно нулю, поэтому $R$ — полное сопротивление контура); $B=0{,}15$ Тл — модуль индукции однородного вертикального магнитного поля; $F=1{,}13$ Н — приложенная горизонтальная сила; $\mu=0{,}25$ — коэффициент трения; $v$ — искомая установившаяся скорость; $\mathcal{E}$ — ЭДС индукции; $I$ — сила индукционного тока; $N$ — сила нормальной реакции направляющих; $F_{\text{тр}}$ — сила трения скольжения; $F_{\text{А}}$ — сила Ампера; $g=10$ м/с$^2$.

Рисунок (силы, действующие на перемычку). Изобразим перемычку как отрезок и приложим к её центру четыре силы:

• сила тяжести $m\vec g$ — вертикально вниз;
• сила нормальной реакции $\vec N$ со стороны двух направляющих — вертикально вверх;
• приложенная сила $\vec F$ — горизонтально, вдоль направляющих, в сторону движения;
• сила трения скольжения $\vec F_{\text{тр}}$ — горизонтально, вдоль направляющих, против скорости $\vec v$;
• сила Ампера $\vec F_{\text{А}}$ — горизонтально, вдоль направляющих, против скорости $\vec v$ (по правилу Ленца индукционный ток препятствует изменению магнитного потока, поэтому магнитное поле тормозит перемычку).

Магнитное поле вертикально, а ток в перемычке течёт вдоль неё, то есть горизонтально. Поэтому сила Ампера $\vec F_{\text{А}}=I\,\vec L\times\vec B$ перпендикулярна и полю, и перемычке, то есть лежит в горизонтальной плоскости и направлена вдоль направляющих. Вертикальной составляющей у неё нет, и на силу нормальной реакции она не влияет.

Второй закон Ньютона для перемычки. В проекции на вертикаль (перемычка по вертикали не движется): $$N-mg=0\quad\Rightarrow\quad N=mg.$$

Закон Амонтона — Кулона для силы трения скольжения: $$F_{\text{тр}}=\mu N=\mu mg.$$

При установившемся движении скорость постоянна, ускорение равно нулю, поэтому в проекции на направление движения: $$F-F_{\text{тр}}-F_{\text{А}}=0\quad\Rightarrow\quad F=\mu mg+F_{\text{А}}.$$

Сила Ампера: $F_{\text{А}}=BIL$ (ток перпендикулярен полю).

Закон электромагнитной индукции Фарадея для перемычки, движущейся перпендикулярно самой себе и перпендикулярно полю: $$\mathcal{E}=\left|\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right|=BLv.$$

Закон Ома для контура (сопротивлением стержня пренебрегаем): $$I=\frac{\mathcal{E}}{R}=\frac{BLv}{R}.$$

Подставляя ток в выражение для силы Ампера, получаем $$F_{\text{А}}=\frac{B^2L^2v}{R},\qquad F=\mu mg+\frac{B^2L^2v}{R},$$ откуда искомая установившаяся скорость $$v=\frac{(F-\mu mg)R}{B^2L^2}.$$

Расчёт. $$\mu mg=0{,}25\cdot0{,}092\cdot10=0{,}23\ \text{Н},\qquad F-\mu mg=1{,}13-0{,}23=0{,}90\ \text{Н},$$ $$v=\frac{0{,}90\cdot0{,}1}{(0{,}15)^2\cdot1^2}=\frac{0{,}09}{0{,}0225}=4\ \text{м/с}.$$

Проверка. При $v=4$ м/с: $\mathcal{E}=BLv=0{,}15\cdot1\cdot4=0{,}6$ В, $I=\mathcal{E}/R=6$ А, $F_{\text{А}}=BIL=0{,}15\cdot6\cdot1=0{,}9$ Н $=F-F_{\text{тр}}$ — баланс сил выполняется.

Ответ: $v=\dfrac{(F-\mu mg)R}{B^2L^2}=4$ м/с.