Задание №24 — Изопроцессы. Графики изопроцессов

Решение:

Обозначения. $p_0$ — постоянное давление азота в камере; $S$ — площадь поперечного сечения сосуда (она же площадь пробки); $L = 50\ \text{см}$ — высота сосуда, равная длине столба газа сразу после закрытия; $h$ — длина столба газа при температуре $T_1 = 240\ \text{К}$; $H = 46\ \text{см}$ — длина столба газа после возвращения к $T_0 = 300\ \text{К}$; $p_1$ и $p_2$ — давления запертого азота в этих двух состояниях; $F$ — модуль силы трения между пробкой и стенками (одинаков при движении вверх и вниз).

Азот считаем идеальным газом, процессы — квазистатическими (нагревание и охлаждение медленные, пробка движется без ускорения).

Состояние 0 (сразу после закрытия). Сосуд закрывают, когда он находится в камере при $T_0$, поэтому запертый газ имеет давление камеры $p_0$, длину столба $L$ и температуру $T_0$.

Условия равновесия пробки. Массой пробки пренебрегаем, поэтому сумма сил, действующих на неё, равна нулю. На пробку действуют: сила давления запертого газа снизу $pS$ (вверх), сила давления азота камеры сверху $p_0S$ (вниз) и сила трения $F$, направленная против движения пробки.

При охлаждении газ сжимается, пробка движется вниз, трение направлено вверх:

$$p_1 S + F = p_0 S \quad \Rightarrow \quad p_1 = p_0 - \frac{F}{S} .$$

При последующем нагревании газ расширяется, пробка движется вверх, трение направлено вниз:

$$p_2 S = p_0 S + F \quad \Rightarrow \quad p_2 = p_0 + \frac{F}{S} .$$

Находим $p_2$. Состояния 0 и 2 отвечают одной и той же температуре $T_0$, поэтому для запертой порции газа справедлив закон Бойля — Мариотта:

$$p_0 L S = p_2 H S \quad \Rightarrow \quad p_2 = p_0\,\frac{L}{H} .$$

Тогда

$$\frac{F}{S} = p_2 - p_0 = p_0\,\frac{L - H}{H},$$

$$p_1 = p_0 - \frac{F}{S} = p_0\left(1 - \frac{L-H}{H}\right) = p_0\,\frac{2H - L}{H}.$$

Находим $h$. Переход из состояния 0 в состояние 1 описывается уравнением Клапейрона (объединённым газовым законом) для постоянной массы газа:

$$\frac{p_0 L S}{T_0} = \frac{p_1 h S}{T_1} \quad \Rightarrow \quad h = \frac{p_0 L T_1}{p_1 T_0} = \frac{L\,T_1\,H}{T_0\,(2H - L)} .$$

Подставляем числовые значения:

$$h = \frac{50\ \text{см}\cdot 240\ \text{К}\cdot 46\ \text{см}}{300\ \text{К}\cdot(2\cdot 46 - 50)\ \text{см}} = \frac{552\,000}{12\,600}\ \text{см} \approx 43{,}8\ \text{см}.$$

Проверка: $h \lt H \lt L$, как и должно быть по рисунку — при охлаждении пробка опустилась ниже всего, а при обратном нагревании из-за трения не вернулась в исходное положение.

Ответ: $h = \dfrac{L\,T_1\,H}{T_0\,(2H - L)} \approx 43{,}8\ \text{см}$ (примерно $44$ см).