Задание №26 — Сила Архимеда

Дано: $\rho_{1}$= 900 кг/м³; $\rho_{2} = 3 \rho_{1}$

Найти: $\rho - ?$

Решение:
Система находится в равновесии в инерциальной системе отсчета, связанной с поверхностью Земли. Согласно второму закону Ньютона, суммарная выталкивающая сила, приложенная к шарику со стороны обеих жидкостей, компенсирует силу тяжести: 
$\rho_{1} V_{1} g + \rho_{2} V_{2} g = \rho g \left(V_{1} + V_{2}\right) ( 1 ) ,$ здесь V₁ и V₂ обозначают части объема тела, погруженные в верхний и нижний слои соответственно.

Из данного выражения получаем:
$\rho = \frac{\rho_{1} V_{1} g + \rho_{2} V_{2} g}{g \left(V_{1} + V_{2}\right)} ( 2 )$

Сумма частей объема, находящихся в разных жидкостях, составляет полный объем шарика:
$\frac{V_{1}}{V_{1} + V_{2}} + \frac{V_{2}}{V_{1} + V_{2}} = 1 ( 3 )$

Произведем совместное решение уравнений (2) и (3):
$\left\{\begin{matrix} \frac{V_{1}}{V_{1} + V_{2}} + \frac{V_{2}}{V_{1} + V_{2}} = 1 ( 4 ) \\ \rho = \frac{\rho_{1} V_{1} + \rho_{2} V_{2}}{\left(V_{1} + V_{2}\right)} ( 5 ) \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \frac{V_{2}}{V_{1} + V_{2}} = 1 - \frac{V_{1}}{V_{1} + V_{2}} ( 6 ) \\ \rho = \frac{\rho_{1} V_{1}}{V_{1} + V_{2}} + \rho_{2} \left(1 - \frac{V_{1}}{V_{1} + V_{2}}\right) ( 7 ) \end{matrix}\right.$
$\rho = \frac{\rho_{1} V_{1}}{V_{1} + V_{2}} + \rho_{2} - \frac{\rho_{2} V_{1}}{V_{1} + V_{2}} ( 8 )$
$\rho - \rho_{2} = \frac{\rho_{1} V_{1}}{V_{1} + V_{2}} - \frac{\rho_{2} V_{1}}{V_{1} + V_{2}} ( 9 )$
$\frac{\rho_{2} - \rho}{\rho_{2} - \rho_{1}} = \frac{V_{1}}{V_{1} + V_{2}} ( 10 )$

Исходя из данных в условии: $\frac{V_{1}}{V_{1} + V_{2}} = \frac{1}{3} ( 11 )$

Используем соотношение (11) в формуле (10):
$\frac{\rho_{2} - \rho}{\rho_{2} - \rho_{1}} = \frac{1}{3} ( 12 )$
$\rho = \frac{2 \rho_{2} + \rho_{1}}{3} = \frac{7 \rho_{1}}{3} ( 13 )$
$\rho = \frac{7 \cdot 900}{3} = 2100 кг / м^{3}$

Ответ: $\rho$ = 2100 кг/м³

Источник: ФИПИ