Задание №26 — Второй закон Ньютона

Решение:

Обоснование применимости законов. Систему отсчёта, связанную с Землёй и неподвижной сферической поверхностью, считаем инерциальной — в ней применим второй закон Ньютона. Шайба маленькая, поэтому считаем её материальной точкой, движущейся по окружности радиуса $R$ (шайба не отрывается от вогнутой поверхности, что подтверждается расчётом: сила реакции опоры оказывается положительной). Поверхность гладкая, сопротивление воздуха не учитываем, сила нормальной реакции перпендикулярна скорости и работы не совершает — поэтому работу совершает только сила тяжести и полная механическая энергия шайбы сохраняется. Поле тяжести в пределах размеров установки однородно, $g=\text{const}$. Ускорение точки, движущейся по окружности, раскладывается на центростремительную (нормальную) и тангенциальную составляющие: $\vec a=\vec a_{n}+\vec a_{\tau}$.

Обозначения. $R$ — радиус сферической поверхности; $O$ — её центр; $h_{0}=\frac{R}{2}$ — начальная высота шайбы над нижней точкой; $h=\frac{R}{6}$ — высота шайбы в рассматриваемый момент; $\beta$ — угол между радиусом, проведённым к шайбе, и вертикальным радиусом, проведённым в нижнюю точку; $v$ — модуль скорости шайбы; $m$ — масса шайбы; $N$ — модуль силы нормальной реакции; $a_{n}$ и $a_{\tau}$ — нормальная (центростремительная) и тангенциальная составляющие ускорения; $g$ — ускорение свободного падения.

Рисунок (описание). Шайба изображена на правом склоне поверхности на высоте $\frac{R}{6}$ над нижней точкой; вектор скорости $\vec v$ направлен по касательной к поверхности вправо-вверх. К шайбе приложены только две силы:

• сила тяжести $m\vec g$ — приложена к шайбе, направлена вертикально вниз;
• сила нормальной реакции опоры $\vec N$ — приложена в точке касания, направлена перпендикулярно поверхности, то есть вдоль радиуса к центру $O$ (для указанного положения — влево-вверх).

Силы трения нет (поверхность гладкая), сопротивление воздуха не учитывается. Вектор ускорения $\vec a$ следует изобразить исходящим из шайбы внутрь сферической поверхности: он лежит между направлением на центр $O$ и направлением, противоположным скорости, составляя с радиусом угол около $40^{\circ}$.

1. Скорость шайбы. По закону сохранения механической энергии (нулевой уровень — нижняя точка поверхности):

$$mgh_{0}=mgh+\frac{mv^{2}}{2}\quad\Rightarrow\quad v^{2}=2g\left(\frac{R}{2}-\frac{R}{6}\right)=\frac{2gR}{3}.$$

2. Нормальная (центростремительная) составляющая ускорения:

$$a_{n}=\frac{v^{2}}{R}=\frac{2g}{3}\approx 6{,}7\ \text{м/с}^{2},$$

она направлена вдоль радиуса к центру $O$.

3. Тангенциальная составляющая ускорения. Высота шайбы связана с углом $\beta$ соотношением $h=R(1-\cos\beta)$, откуда

$$\cos\beta=1-\frac{h}{R}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6},\qquad \sin\beta=\sqrt{1-\frac{25}{36}}=\frac{\sqrt{11}}{6}\approx 0{,}55.$$

Вдоль касательной на шайбу действует только составляющая силы тяжести $mg\sin\beta$ (реакция опоры перпендикулярна касательной), поэтому по второму закону Ньютона

$$a_{\tau}=g\sin\beta=\frac{g\sqrt{11}}{6}\approx 5{,}5\ \text{м/с}^{2}.$$

Эта составляющая направлена по касательной вниз по склону, то есть против скорости: шайба, поднимаясь, тормозит.

4. Полное ускорение. Обе составляющие отличны от нуля, поэтому ускорение не направлено ни по радиусу, ни по касательной:

$$a=\sqrt{a_{n}^{2}+a_{\tau}^{2}}=g\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{11}{36}}=g\sqrt{\frac{27}{36}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\,g\approx 8{,}7\ \text{м/с}^{2},$$

$$\mathrm{tg}\,\gamma=\frac{a_{\tau}}{a_{n}}=\frac{\sqrt{11}/6}{2/3}=\frac{\sqrt{11}}{4}\approx 0{,}83\quad\Rightarrow\quad \gamma\approx 40^{\circ},$$

где $\gamma$ — угол между вектором ускорения и радиусом, проведённым от шайбы к центру $O$. Вектор $\vec a$ отклонён от этого радиуса в сторону, противоположную движению, и направлен внутрь сферической поверхности.

5. Проверка того, что шайба не отрывается от поверхности. Второй закон Ньютона в проекции на радиус (к центру): $N-mg\cos\beta=\dfrac{mv^{2}}{R}$, откуда

$$N=mg\cos\beta+\frac{mv^{2}}{R}=mg\cdot\frac{5}{6}+\frac{2mg}{3}=\frac{3mg}{2}\gt 0,$$

то есть шайба прижата к поверхности, движение по окружности радиуса $R$ действительно реализуется.

Ответ: на шайбу действуют сила тяжести $m\vec g$ (вертикально вниз) и сила нормальной реакции $\vec N$ (вдоль радиуса к центру сферы). Ускорение шайбы направлено внутрь поверхности — оно не совпадает ни с радиусом, ни с касательной, так как имеет и центростремительную составляющую $a_{n}=\frac{2g}{3}\approx 6{,}7\ \text{м/с}^{2}$, и тангенциальную составляющую $a_{\tau}=g\sin\beta\approx 5{,}5\ \text{м/с}^{2}$, направленную против скорости; модуль ускорения $a=\frac{\sqrt{3}}{2}g\approx 8{,}7\ \text{м/с}^{2}$, угол с радиусом $\approx 40^{\circ}$.