Задание №26 — Закон сохранения механической энергии

Решение:

Обоснование применимости законов. Систему отсчёта, связанную со столом (с Землёй), считаем инерциальной. Шайба мала по сравнению с размерами горки — считаем её материальной точкой; горка движется поступательно, поэтому все её точки имеют одинаковую скорость и её движение тоже описывается одной величиной. Поверхность стола гладкая, а внешние силы, действующие на систему «шайба + горка» извне (сила тяжести и сила нормальной реакции стола), вертикальны, поэтому горизонтальная проекция импульса системы сохраняется. Поверхность горки гладкая, шайба с неё не отрывается, горка не отрывается от стола, тела недеформируемы, сопротивление воздуха не учитываем — поэтому силы взаимодействия шайбы и горки суммарной работы не совершают и полная механическая энергия системы сохраняется. Толчок «незначительный», поэтому начальные скорости обоих тел считаем равными нулю. Поле тяжести однородно, $g=\text{const}$. Горка движется только горизонтально, поэтому высоты её вершин над столом не изменяются.

Обозначения. $m$ — масса шайбы; $M$ — масса горки; $V$ — модуль скорости шайбы относительно стола в момент, когда она находится на левой вершине; $u$ — модуль скорости горки в тот же момент; $h$ и $\frac{5}{2}h$ — высоты левой и правой вершин над столом; $g$ — ускорение свободного падения.

1. Направление скорости шайбы на вершине. В вершине касательная к профилю горки горизонтальна, поэтому скорость шайбы относительно горки в этот момент горизонтальна. Скорость горки также горизонтальна, значит, и скорость шайбы относительно стола горизонтальна, а её модуль равен $V$. Так как шайба движется влево, горка движется вправо.

2. Закон сохранения импульса (ось $x$ направлена вправо; в начальный момент импульс системы равен нулю):

$$0=-mV+Mu\quad\Rightarrow\quad u=\frac{mV}{M}.$$

3. Закон сохранения механической энергии. Шайба опустилась с высоты $\frac{5}{2}h$ до высоты $h$, то есть на $\frac{5}{2}h-h=\frac{3}{2}h$:

$$mg\cdot\frac{3h}{2}=\frac{mV^{2}}{2}+\frac{Mu^{2}}{2}.$$

Подставим $u=\dfrac{mV}{M}$:

$$mg\cdot\frac{3h}{2}=\frac{mV^{2}}{2}+\frac{m^{2}V^{2}}{2M}.$$

Умножив обе части на $\dfrac{2}{m}$, получаем

$$3gh=V^{2}\left(1+\frac{m}{M}\right)\quad\Rightarrow\quad \frac{m}{M}=\frac{3gh}{V^{2}}-1=\frac{3gh-V^{2}}{V^{2}}.$$

Проверка. Решение существует при $V^{2}\lt 3gh$; в пределе $M\gg m$ горка практически неподвижна и $V^{2}\to 3gh$, что совпадает с обычным результатом для скатывания с перепада высот $\frac{3}{2}h$.

Ответ: $\dfrac{m}{M}=\dfrac{3gh-V^{2}}{V^{2}}=\dfrac{3gh}{V^{2}}-1$.