Задание №26 — Закон сохранения механической энергии

Решение:

Обоснование применимости законов. Систему отсчёта, связанную со столом (с Землёй), считаем инерциальной — в ней справедливы законы Ньютона. Размеры грузика А малы по сравнению с длиной нити, поэтому грузик считаем материальной точкой, движущейся по дуге окружности радиуса $L$ с центром на оси блока. Нить невесома и нерастяжима, блок невесом, трения в блоке нет, размерами блока пренебрегаем — поэтому модуль силы натяжения одинаков во всех точках нити. Пока брусок В неподвижен, точка подвеса маятника (блок) неподвижна, а длина маятника постоянна и равна $L$; при этом сила натяжения нити всё время перпендикулярна скорости грузика и работы не совершает, сопротивление воздуха не учитываем, поэтому механическая энергия грузика сохраняется. Высота $h$ мала по сравнению с радиусом Земли, поле тяжести однородно, $g=\text{const}$. Брусок В — твёрдое тело, покоящееся на горизонтальной поверхности; он остаётся в покое, пока сила, тянущая его вдоль поверхности, не превысит максимальную силу трения покоя, которую принимаем равной $\mu N$.

Обозначения. $m$ — искомая масса грузика А; $M$ — масса бруска В; $L$ — длина свисающей части нити, то есть радиус окружности, по которой качается грузик; $h$ — высота, на которую приподняли грузик; $v$ — модуль скорости грузика в нижней точке траектории; $T$ — модуль силы натяжения нити; $N$ — модуль силы нормальной реакции трибометра, действующей на брусок; $\mu$ — коэффициент трения между бруском и поверхностью; $g$ — ускорение свободного падения.

1. Скорость грузика в нижней точке. При качании на грузик действуют сила тяжести и сила натяжения нити, причём натяжение работы не совершает. По закону сохранения механической энергии (нулевой уровень — нижняя точка траектории):

$$mgh=\frac{mv^{2}}{2}\quad\Rightarrow\quad v^{2}=2gh.$$

2. Сила натяжения нити в нижней точке. В нижней точке грузик движется по окружности радиуса $L$, поэтому его ускорение центростремительное, направлено вертикально вверх (к блоку) и равно $a=\dfrac{v^{2}}{L}$. Второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$$T-mg=\frac{mv^{2}}{L}\quad\Rightarrow\quad T=mg+\frac{2mgh}{L}=mg\left(1+\frac{2h}{L}\right).$$

3. Условие сдвига бруска. В этот момент участок нити между блоком и бруском горизонтален, поэтому он тянет брусок вдоль поверхности силой, модуль которой равен $T$. Для бруска в проекции на вертикаль: $N-Mg=0$, то есть $N=Mg$ (вертикальной составляющей у силы натяжения нет). Брусок сдвинется с места, если сила натяжения превысит максимальную силу трения покоя:

$$T\gt\mu N=\mu Mg.$$

Подставляя выражение для $T$:

$$mg\left(1+\frac{2h}{L}\right)\gt\mu Mg\quad\Rightarrow\quad m\gt\frac{\mu M}{1+\dfrac{2h}{L}}=\frac{\mu ML}{L+2h}.$$

Проверка. При $h\to 0$ получаем $m\gt\mu M$ — обычное условие сдвига при статическом натяжении; чем больше $h$, тем меньшая масса грузика достаточна, что согласуется со здравым смыслом. Выражение имеет размерность массы.

Ответ: масса грузика должна превзойти значение $m_{\min}=\dfrac{\mu ML}{L+2h}$.