Задание №26 — Сила упругости

Решение:

Обоснование применимости законов. Систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной. Шарик считаем материальной точкой, сопротивлением воздуха пренебрегаем, а поле тяжести вблизи поверхности Земли считаем однородным — поэтому и до удара, и после него шарик движется свободно, с постоянным ускорением $\vec g$, направленным вертикально вниз ($g = 10$ м/с²). Плита закреплена, её масса неограниченно велика по сравнению с массой шарика, удар абсолютно упругий, а поверхность плиты гладкая: при таком ударе касательная к плите составляющая скорости сохраняется, а нормальная меняет знак, сохраняя модуль. Следовательно, модуль скорости шарика при ударе не меняется, а угол отражения равен углу падения (закон отражения). Время удара пренебрежимо мало по сравнению со временем полёта, поэтому смещением шарика за время удара пренебрегаем. В верхней точке траектории после удара вертикальная составляющая скорости равна нулю.

Обозначения. $H$ — искомая высота начала падения над землёй, $t = 0{,}4$ с — время свободного падения до удара, $\alpha = 30^{\circ}$ — угол наклона плиты к горизонту, $v$ — модуль скорости шарика перед ударом (он же сразу после удара), $v_y$ — вертикальная составляющая скорости сразу после удара, $H_1 = \dfrac{gt^2}{2}$ — путь свободного падения до плиты, $h_1$ — высота точки удара над землёй, $\Delta h$ — подъём шарика над точкой удара, $h = 1{,}4$ м — высота верхней точки траектории над землёй.

Рисунок (описание). Из точки на высоте $H$ шарик падает вертикально вниз и попадает в точку удара на плите, наклонённой к горизонту под углом $30^{\circ}$; эта точка находится на высоте $h_1$ над землёй. Вектор скорости перед ударом направлен вертикально вниз, вектор нормали к плите наклонён к вертикали на угол $30^{\circ}$. Вектор скорости сразу после удара имеет тот же модуль и направлен вверх под углом $30^{\circ}$ к горизонту (в сторону от плиты). Далее шарик летит по параболе, верхняя точка которой лежит на высоте $h = 1{,}4$ м.

1. Скорость перед ударом и высота падения. При свободном падении без начальной скорости

$v = gt = 10 \cdot 0{,}4 = 4$ м/с, $\qquad H_1 = \dfrac{gt^2}{2} = \dfrac{10 \cdot 0{,}16}{2} = 0{,}8$ м.

2. Скорость после упругого удара. Скорость перед ударом вертикальна, а нормаль к плите составляет с вертикалью угол $\alpha$, поэтому угол падения (между скоростью и нормалью) равен $\alpha = 30^{\circ}$. При абсолютно упругом ударе угол отражения тоже равен $\alpha$, а модуль скорости сохраняется, значит направление скорости поворачивается на угол $2\alpha = 60^{\circ}$. Скорость после удара направлена вверх под углом $90^{\circ} - 2\alpha = 30^{\circ}$ к горизонту, а её вертикальная составляющая

$v_y = v\cos 2\alpha = 4 \cdot \cos 60^{\circ} = 4 \cdot 0{,}5 = 2$ м/с.

3. Подъём после удара. После удара шарик движется как тело, брошенное под углом к горизонту; в верхней точке вертикальная составляющая скорости равна нулю, поэтому (закон сохранения энергии или кинематика равноускоренного движения)

$\Delta h = \dfrac{v_y^2}{2g} = \dfrac{2^2}{2 \cdot 10} = 0{,}2$ м.

4. Высота точки удара и высота $H$.

$h_1 = h - \Delta h = 1{,}4 - 0{,}2 = 1{,}2$ м,

$H = h_1 + H_1 = h - \dfrac{v^2\cos^2 2\alpha}{2g} + \dfrac{gt^2}{2} = 1{,}2 + 0{,}8 = 2{,}0$ м.

Ответ: $H = 2$ м.