Задание №22 — Условия равновесия тела

#68898Задание №22ФИПИ

Условия равновесия твёрдого тела в ИСО

Однородный стержень АВ массой 100 г покоится, упираясь в стык дна и стенки банки концом В и опираясь на край банки в точке С (см. рис.). Модуль силы, с которой стержень давит на стенку сосуда в точке С, равен 0,5 Н. Чему равен модуль горизонтальной составляющей силы, с которой стержень давит на сосуд в точке В, если модуль вертикальной составляющей этой силы равен 0,6 Н? Трением пренебречь.

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение:

Обозначения. $m=100\ \text{г}=0{,}1\ \text{кг}$ — масса стержня; $g=10\ \text{м/с}^2$ — ускорение свободного падения; $\alpha$ — угол между стержнем и горизонталью; $N_C=0{,}5\ \text{Н}$ — модуль силы реакции края банки в точке $C$ ; $N_{Bx}$ и $N_{By}$ — модули горизонтальной и вертикальной составляющих силы реакции банки в точке $B$ , причём по условию $N_{By}=0{,}6\ \text{Н}$ .

Силы, действующие на стержень (рисунок). На стержень действуют три силы:

сила тяжести $m\vec g$ , приложенная к середине однородного стержня и направленная вертикально вниз;
сила реакции $\vec N_C$ со стороны края банки в точке $C$ . Стержень опирается на ребро, трения нет, поэтому эта сила перпендикулярна стержню и направлена от опоры вверх; её составляющие: горизонтальная $N_C\sin\alpha$ (вправо, в сторону стенки) и вертикальная $N_C\cos\alpha$ (вверх);
сила реакции в точке $B$ , где конец стержня упирается в стык дна и стенки: её вертикальная составляющая $N_{By}$ направлена вверх (реакция дна), а горизонтальная составляющая $N_{Bx}$ — влево, внутрь банки (реакция стенки).

По третьему закону Ньютона силы, с которыми стержень давит на банку в точках $C$ и $B$ , равны по модулю и противоположны по направлению соответствующим силам реакции, поэтому $N_C=0{,}5\ \text{Н}$ и $N_{By}=0{,}6\ \text{Н}$ .

Условие равновесия. Стержень покоится, значит, векторная сумма приложенных к нему сил равна нулю:

$m\vec g+\vec N_C+\vec N_B=\vec 0.$

В проекциях на горизонтальную ось $Ox$ (вправо) и вертикальную ось $Oy$ (вверх):

$Ox:\quad N_C\sin\alpha-N_{Bx}=0,$

$Oy:\quad N_C\cos\alpha+N_{By}-mg=0.$

Расчёт. Из уравнения для оси $Oy$ :

$\cos\alpha=\frac{mg-N_{By}}{N_C}=\frac{0{,}1\cdot 10-0{,}6}{0{,}5}=\frac{0{,}4}{0{,}5}=0{,}8.$

Тогда $\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-0{,}64}=0{,}6$ (угол наклона стержня $\alpha\approx 37^\circ$ , что согласуется с рисунком).

Из уравнения для оси $Ox$ :

$N_{Bx}=N_C\sin\alpha=0{,}5\cdot 0{,}6=0{,}3\ \text{Н}.$

По третьему закону Ньютона с такой же по модулю силой стержень давит на стенку банки в точке $B$ .

Ответ: $N_{Bx}=0{,}3\ \text{Н}$ .