Задание №22 — Условия равновесия тела

#68897Задание №22ФИПИ

Условия равновесия твёрдого тела в ИСО

Однородный массивный стержень АВ покоится, упираясь в стык дна и стенки банки концом В и опираясь на край банки в точке С (см. рис.). Модуль силы, с которой стержень давит на стенку сосуда в точке С, равен 0,5 Н. Вертикальная составляющая силы, с которой стержень давит на сосуд в точке В, равна по модулю 0,6 Н, а её горизонтальная составляющая равна по модулю 0,3 Н. Чему равна сила тяжести, действующая на стержень? Трением пренебречь.

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение:

Обозначения. $mg$ — модуль силы тяжести, действующей на стержень (искомая величина); $\alpha$ — угол между стержнем и горизонталью; $N_C=0{,}5\ \text{Н}$ — модуль силы реакции края банки в точке $C$ ; $N_{Bx}=0{,}3\ \text{Н}$ и $N_{By}=0{,}6\ \text{Н}$ — модули горизонтальной и вертикальной составляющих силы реакции банки в точке $B$ .

Силы, действующие на стержень (рисунок). На стержень действуют три силы:

сила тяжести $m\vec g$ , приложенная к середине однородного стержня и направленная вертикально вниз;
сила реакции $\vec N_C$ со стороны края банки в точке $C$ . Стержень опирается на ребро, трения нет, поэтому эта сила перпендикулярна стержню и направлена от опоры вверх; её составляющие: горизонтальная $N_C\sin\alpha$ (вправо) и вертикальная $N_C\cos\alpha$ (вверх);
сила реакции в точке $B$ , где конец стержня упирается в стык дна и стенки: вертикальная составляющая $N_{By}$ направлена вверх (реакция дна), горизонтальная составляющая $N_{Bx}$ — влево, внутрь банки (реакция стенки).

По третьему закону Ньютона модули сил реакции равны модулям сил, с которыми стержень давит на банку: $N_C=0{,}5\ \text{Н}$ , $N_{By}=0{,}6\ \text{Н}$ , $N_{Bx}=0{,}3\ \text{Н}$ .

Условие равновесия. Стержень покоится, поэтому векторная сумма приложенных к нему сил равна нулю:

$m\vec g+\vec N_C+\vec N_B=\vec 0.$

В проекциях на горизонтальную ось $Ox$ (вправо) и вертикальную ось $Oy$ (вверх):

$Ox:\quad N_C\sin\alpha-N_{Bx}=0,$

$Oy:\quad N_C\cos\alpha+N_{By}-mg=0.$

Расчёт. Из уравнения для оси $Ox$ находим угол наклона стержня:

$\sin\alpha=\frac{N_{Bx}}{N_C}=\frac{0{,}3}{0{,}5}=0{,}6,\qquad \cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-0{,}36}=0{,}8$

(то есть $\alpha\approx 37^\circ$ , что согласуется с рисунком).

Из уравнения для оси $Oy$ :

$mg=N_{By}+N_C\cos\alpha=0{,}6+0{,}5\cdot 0{,}8=0{,}6+0{,}4=1\ \text{Н}.$

(Этому соответствует масса стержня $m=\dfrac{mg}{g}=\dfrac{1}{10}=0{,}1\ \text{кг}=100\ \text{г}$ .)

Ответ: $mg=1\ \text{Н}$ .