Задание №22 — Закон сохранения импульса системы тел

Решение:

Обозначения. $M$ — искомая масса первой (налетающей) шайбы; $v$ — модуль её скорости перед ударом; $m$ — масса второй шайбы, до удара она покоится; $u$ — модуль скорости второй шайбы после удара; $E_0=\dfrac{Mv^2}{2}$ — начальная кинетическая энергия первой шайбы; $Q$ — количество теплоты (приращение внутренней энергии), выделившееся при ударе.

Законы, используемые в решении.

1) Закон сохранения импульса. Поверхность гладкая, внешние силы (тяжесть и реакция опоры) вертикальны и компенсируют друг друга, поэтому суммарный импульс шайб вдоль направления движения сохраняется. Первая шайба после удара остановилась, значит, весь импульс перешёл ко второй шайбе:

$$Mv=mu\quad\Rightarrow\quad u=\frac{Mv}{m}.$$

2) Закон сохранения энергии. Удар частично неупругий: во внутреннюю энергию перешло $75\,\%$ начальной кинетической энергии, то есть $Q=0{,}75\,E_0$, а в кинетической форме осталось $25\,\%$:

$$\frac{mu^2}{2}=0{,}25\cdot\frac{Mv^2}{2}.$$

Математические преобразования. Подставим $u=\dfrac{Mv}{m}$ во второе уравнение:

$$\frac{m}{2}\cdot\frac{M^2v^2}{m^2}=0{,}25\cdot\frac{Mv^2}{2}\quad\Rightarrow\quad \frac{M^2}{m}=0{,}25\,M.$$

Так как $M\neq 0$ и $v\neq 0$, делим обе части на $M$:

$$\frac{M}{m}=0{,}25\quad\Rightarrow\quad M=\frac{m}{4}=0{,}25\,m.$$

Проверка. Полученное значение удовлетворяет условию задачи: $M=0{,}25\,m\lt m$, то есть вторая шайба действительно тяжелее первой. Скорость второй шайбы после удара $u=\dfrac{Mv}{m}=0{,}25\,v$, её кинетическая энергия равна $\dfrac{mu^2}{2}=\dfrac{0{,}0625\,mv^2}{2}$, а начальная энергия первой шайбы $E_0=\dfrac{Mv^2}{2}=\dfrac{0{,}25\,mv^2}{2}$; их отношение $\dfrac{0{,}0625}{0{,}25}=0{,}25$, то есть в кинетической форме осталось $25\,\%$ энергии, а $75\,\%$ перешло во внутреннюю энергию, как и сказано в условии.

Ответ: $M=\dfrac{m}{4}=0{,}25\,m$.