Задание №22 — Сила Архимеда

Условие: $\rho_{1} = 400$ кг/м³;  $\rho_{2} = 2 \rho_{1}$;  $V_{1} = \frac{1}{4} V$

Определить: $\rho$ - ? 

Решение:
Поскольку шар находится в состоянии плавания, запишем уравнение его механического равновесия: 
$F_{A 1} + F_{A 2} - mg = 0$ (1), в котором F_A1 и F_A2 обозначают выталкивающие силы, приложенные к объекту со стороны первого и второго слоев жидкости.

Используем закон Архимеда для каждой из сред:
$F_{A} = \rho gV$ 
$F_{A 1} = \rho_{1} V_{1} g$ (2)
$F_{A 2} = \rho_{2} V_{2} g$ (3)

Выразим массу тела, используя его среднюю плотность и полный объем:
$m = \rho V ( 4 )$

Объединим выражения (2), (3) и (4), подставив их в исходное уравнение (1):
$\rho_{1} V_{1} g + \rho_{2} V_{2} g = \rho Vg$ (5)

Учитывая соотношение $V_{1} = \frac{1}{4} V$, получаем, что $V_{2} = \frac{3}{4} V$

Выполним подстановку выражений для объемов в формулу (5):
$\rho_{1} \frac{1}{4} Vg + \rho_{2} \frac{3}{4} Vg = \rho Vg$
$\rho_{1} \frac{1}{4} + \rho_{2} \frac{3}{4} = \rho$
$\rho = 400 \cdot \frac{1}{4} + 800 \cdot \frac{3}{4}$
$\rho$ = 700 кг/м³

Ответ: ρ = 700 кг/м³

Источник: ФИПИ