Задание №22 — Гармонические колебания материальной точки

Решение:

Обозначения. $m=9\ \text{г}=0{,}009\ \text{кг}$ — масса пули; $v=20\ \text{м/с}$ — её скорость перед попаданием в груз; $M$ — искомая масса груза; $L=40\ \text{см}=0{,}4\ \text{м}$ — длина нити; $\alpha=60^\circ$ — максимальный угол отклонения нити от вертикали; $u$ — скорость груза с застрявшей пулей сразу после удара; $h$ — максимальная высота подъёма груза с пулей; $g=10\ \text{м/с}^2$.

1) Удар — закон сохранения импульса. Удар абсолютно неупругий (пуля пластилиновая и застревает в грузе) и происходит практически мгновенно, поэтому импульсами силы тяжести и силы натяжения нити за время удара можно пренебречь, а суммарный импульс системы «пуля + груз» в горизонтальном направлении сохраняется:

$$mv=(m+M)u.$$

2) Подъём — закон сохранения механической энергии. После удара нить нерастяжима, сопротивление воздуха отсутствует, сила натяжения нити работы не совершает (она перпендикулярна скорости), поэтому механическая энергия системы сохраняется. В наивысшей точке скорость равна нулю:

$$\frac{(m+M)u^2}{2}=(m+M)gh,\qquad h=L(1-\cos\alpha).$$

Математические преобразования и расчёт. Из второго уравнения масса сокращается:

$$u=\sqrt{2gh}=\sqrt{2gL(1-\cos\alpha)}=\sqrt{2\cdot 10\cdot 0{,}4\cdot(1-0{,}5)}=\sqrt{4}=2\ \text{м/с}.$$

Из закона сохранения импульса:

$$m+M=\frac{mv}{u}=\frac{0{,}009\cdot 20}{2}=\frac{0{,}18}{2}=0{,}09\ \text{кг},$$

$$M=0{,}09-0{,}009=0{,}081\ \text{кг}=81\ \text{г}.$$

Ответ: $M=0{,}081\ \text{кг}=81\ \text{г}$.