Задание №22 — Гармонические колебания материальной точки

Решение:

Обозначения. $m=9\ \text{г}=0{,}009\ \text{кг}$ — масса пули; $v$ — искомая скорость пули перед попаданием в груз; $M=81\ \text{г}=0{,}081\ \text{кг}$ — масса груза; $L=40\ \text{см}=0{,}4\ \text{м}$ — длина нити; $\alpha=60^\circ$ — максимальный угол отклонения нити от вертикали; $u$ — скорость груза с застрявшей пулей сразу после удара; $h$ — максимальная высота подъёма; $g=10\ \text{м/с}^2$.

1) Удар — закон сохранения импульса. Удар абсолютно неупругий (пластилиновая пуля прилипает к грузу) и мгновенный, поэтому импульсами силы тяжести и силы натяжения нити за время удара можно пренебречь, и импульс системы «пуля + груз» в горизонтальном направлении сохраняется:

$$mv=(m+M)u.$$

2) Подъём — закон сохранения механической энергии. Нить нерастяжима, трения и сопротивления воздуха нет, сила натяжения нити перпендикулярна скорости и работы не совершает, поэтому механическая энергия сохраняется; в крайнем положении скорость равна нулю:

$$\frac{(m+M)u^2}{2}=(m+M)gh,\qquad h=L(1-\cos\alpha).$$

Математические преобразования и расчёт. Из уравнения энергии

$$u=\sqrt{2gL(1-\cos\alpha)}=\sqrt{2\cdot 10\cdot 0{,}4\cdot(1-0{,}5)}=\sqrt{4}=2\ \text{м/с}.$$

Из закона сохранения импульса

$$v=\frac{(m+M)u}{m}=\frac{(0{,}009+0{,}081)\cdot 2}{0{,}009}=\frac{0{,}09\cdot 2}{0{,}009}=20\ \text{м/с}.$$

Ответ: $v=20\ \text{м/с}$.