Задание №22 — Закон сохранения механической энергии

Решение:

Обозначения. $m=0{,}4\ \text{кг}$ — масса бруска; $x=2\ \text{см}=0{,}02\ \text{м}$ — удлинение пружины в момент отрыва бруска от стола; $k$ — жёсткость пружины; $F_{\text{упр}}$ — модуль силы упругости пружины, действующей на брусок; $N$ — модуль силы нормальной реакции стола; $E_{\text{п}}$ — потенциальная энергия деформированной пружины; $g=10\ \text{м/с}^2$.

Силы, действующие на брусок. Пружину тянут вертикально вверх, поэтому на брусок действуют три вертикальные силы: сила тяжести $m\vec g$ (вниз), сила упругости пружины $\vec F_{\text{упр}}$ (вверх) и сила нормальной реакции стола $\vec N$ (вверх). Свободный конец пружины тянут медленно, поэтому в любой момент брусок можно считать находящимся в равновесии (ускорением пренебрегаем).

Законы, используемые в решении.

1) Условие равновесия бруска (второй закон Ньютона при $a=0$) в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$$F_{\text{упр}}+N-mg=0.$$

2) Условие отрыва бруска от поверхности стола: в момент отрыва брусок перестаёт давить на стол, поэтому $N=0$, и тогда

$$F_{\text{упр}}=mg.$$

3) Закон Гука: $F_{\text{упр}}=kx$.

4) Потенциальная энергия упруго деформированной пружины: $E_{\text{п}}=\dfrac{kx^2}{2}$.

Математические преобразования. Из пунктов 2 и 3 находим жёсткость пружины:

$$k=\frac{mg}{x}.$$

Подставим это в выражение для энергии:

$$E_{\text{п}}=\frac{kx^2}{2}=\frac{mg}{x}\cdot\frac{x^2}{2}=\frac{mgx}{2}.$$

Расчёт.

$$k=\frac{0{,}4\cdot 10}{0{,}02}=200\ \text{Н/м},\qquad E_{\text{п}}=\frac{0{,}4\cdot 10\cdot 0{,}02}{2}=0{,}04\ \text{Дж}.$$

Ответ: $E_{\text{п}}=0{,}04\ \text{Дж}=40\ \text{мДж}$.