Задание №24 — Уравнение Менделеева-Клапейрона

Условие: l = 76 мм; $\varphi_{1} = 80 \% ;$ p₀ = 760 мм рт. ст.

Вопрос: $\varphi_{2} - ?$

Ход решения:
1) В начальном состоянии относительная влажность воздуха внутри трубки определяется как: $\varphi_{1} = \frac{p_{1}}{p_{н}}$
Здесь $p_{1}$ обозначает парциальное давление пара в трубке, а $p_{н}$ — давление насыщенного пара при данной температуре.

Для конечного состояния влажность воздуха в трубке вычисляется по формуле: $\varphi_{2} = \frac{p_{2}}{p_{н}}$
Где $p_{2} -$ — новое парциальное давление водяного пара.

2) В первом положении давление смеси газов в трубке уравновешено атмосферным давлением:
$p_{1 вл} = p_{0}$
Когда трубку переворачивают, давление становится равным:
$p_{2 вл} = p_{0} - \rho gl$
В данной формуле $\rho$ — это плотность ртути, а l — высота ртутного столба. Учтем, что $p_{0} = \rho gH ,$ при H = 760 мм.

3) Поскольку сечение трубки постоянно, изменение объема влажного воздуха пропорционально изменению высоты воздушного столба под ртутью. Рассматривая влажный воздух как идеальный газ, применим закон Бойля-Мариотта:
$\frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{l_{2}}{l_{1}} = \frac{p_{0}}{p_{0} - \rho gl}$

4) На основании уравнения Менделеева-Клапейрона можно утверждать:
$p = \frac{vRT}{V} , p_{вл} = \frac{( v + v_{св} ) RT}{V}$

Здесь p — парциальное давление пара, p_вл — общее давление смеси, v — число моль пара, а v_св — число моль сухого воздуха в системе.
Из этого вытекает соотношение:
$\frac{p}{p_{вл}} = \frac{v}{v + v_{св}} = const$
Следовательно:
$\frac{p_{1}}{p_{2}} = \frac{p_{1 вл}}{p_{2 вл}} ,$ и для процесса при постоянной температуре закон Бойля-Мариотта для парциального давления пара выглядит так: $\frac{p_{1}}{p_{2}} = \frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{p_{0}}{p_{0} - \rho gl}$

5) Комбинируя полученные зависимости, выведем итоговую формулу для искомой влажности:
$\varphi_{2} = \varphi_{1} \cdot \frac{p_{0} - \rho gl}{p_{0}} = \varphi_{1} \cdot \frac{\rho gH - \rho gl}{\rho gH}$
$\varphi_{2} = \varphi_{1} \frac{H - l}{H} = 80 \cdot \frac{760 - 76}{760} = 72 \%$

Ответ: 72%

Источник: ФИПИ