Задание №24 — КПД тепловой машины. Цикл Карно

Дано: одноатомный идеальный газ; состояние 1: (V₁; p₁); состояние 2: (V₁; 4p₁); состояние 3: (2,5V₁; 8p₁); участки 2–3 и 3–1 — отрезки прямых в осях p–V; масса газа постоянна

Найти: $\eta$ - ?

Решение:
1) Обозначим p₁ = p, V₁ = V. По условию $p_{2} = 4 p$ при том же объёме V, а затем $V_{3} = 2{,}5 V$ и $p_{3} = 2 p_{2} = 8 p .$
2) Работа газа за цикл численно равна площади фигуры, ограниченной графиком цикла в осях p–V. Все три участка — отрезки прямых, поэтому это треугольник с вершинами 1, 2 и 3:
$A = \frac{1}{2} \left(4 p - p\right) \left(2{,}5 V - V\right) = \frac{1}{2} \cdot 3 p \cdot 1{,}5 V = 2{,}25 p V$
Обход 1 → 2 → 3 → 1 идёт по часовой стрелке, поэтому работа газа за цикл положительна.
3) Внутренняя энергия одноатомного идеального газа $U = \frac{3}{2} \nu R T = \frac{3}{2} p V .$ Считаем теплоту на каждом участке по первому закону термодинамики $Q = \Delta U + A .$
Участок 1–2 (изохора, V = const):
$A_{12} = 0 , \Delta U_{12} = \frac{3}{2} \left(4 p V - p V\right) = 4{,}5 p V , Q_{12} = 4{,}5 p V \gt 0$
Участок 2–3 (давление линейно растёт с объёмом):
$A_{23} = \frac{4 p + 8 p}{2} \left(2{,}5 V - V\right) = 9 p V$
$\Delta U_{23} = \frac{3}{2} \left(8 p \cdot 2{,}5 V - 4 p \cdot V\right) = 24 p V$
$Q_{23} = 24 p V + 9 p V = 33 p V \gt 0$
На этом участке и объём, и давление растут, поэтому и внутренняя энергия, и работа газа возрастают монотонно: газ на всём участке только получает теплоту.
Участок 3–1 (давление линейно убывает с объёмом):
$A_{31} = \frac{8 p + p}{2} \left(V - 2{,}5 V\right) = - 6{,}75 p V$
$\Delta U_{31} = \frac{3}{2} \left(p V - 8 p \cdot 2{,}5 V\right) = - 28{,}5 p V$
$Q_{31} = - 28{,}5 p V - 6{,}75 p V = - 35{,}25 p V \lt 0$
На этом участке газ только отдаёт теплоту: прямая 3–1 пересекает ось объёмов при $V \approx 0{,}79 V ,$ а знак элементарной теплоты на прямолинейном участке меняется при $V \approx 0{,}49 V ,$ то есть вне отрезка $\left[ V ; 2{,}5 V \right] .$
4) Нагреватель отдаёт газу теплоту на участках 1–2 и 2–3:
$Q_{нагр} = Q_{12} + Q_{23} = 4{,}5 p V + 33 p V = 37{,}5 p V$
5) Коэффициент полезного действия:
$\eta = \frac{A}{Q_{нагр}} = \frac{2{,}25 p V}{37{,}5 p V} = 0{,}06 = 6 \%$
Проверка: $A = Q_{нагр} - \left| Q_{31} \right| = 37{,}5 p V - 35{,}25 p V = 2{,}25 p V .$

Ответ: $\eta$ = 6 %

Источник: ФИПИ

Критерии оценивания выполнения задания (максимум 3 балла)

3 балла. Приведено полное решение, включающее следующие элементы: верно записаны формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом; описаны все вновь вводимые буквенные обозначения физических величин; проведены необходимые математические преобразования и расчёты, приводящие к правильному числовому ответу, и представлен ответ.

2 балла. Правильно записаны все необходимые формулы, но имеется один из недостатков: не описаны вновь вводимые буквенные обозначения; И (ИЛИ) в решении имеются лишние записи, не входящие в решение; И (ИЛИ) допущена ошибка в математических преобразованиях или вычислениях, приведшая к неверному числовому ответу.

1 балл. Записаны и использованы не все исходные формулы, необходимые для решения задачи, ИЛИ записаны все исходные формулы, но в одной из них допущена ошибка.

0 баллов. Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям.